中日高中數學教科書中“直線與方程”內容的比較

蔡夢洋

【摘要】直線與方程是數形結合思想的應用，是一種重要的數學思想方法.我國著名的數學家華羅庚先生說過：“數缺形時少直觀，形少數時難入微，數形結合百般好，隔裂分家萬事休.”數形結合思想正好可以降低思維難度，提供簡捷的解題途徑.因此，就教科書編寫而言，如何將幾何與代數很好地融合在一起，如何處理數形結合的系統性與學生的認知水平之間的關系，是普遍受關注的話題.對此，本文就日本東京書籍株式會社2009年出版的日本教科書《新數學Ⅱ》[1]（以下簡稱《新數學》）中的第二章中的第二節為“直線與方程”和我國人民教育出版社2009年出版的《普通高中課程標準實驗教科書·數學》[2]（以下簡稱《數學》）中的一些內容進行比較，希望對我國高中數學教科書“直線與方程”部分的編寫與學習提供借鑒.

【關鍵詞】數學;直線;方程

一、內容結構上，教科書應更注重基礎

《數學》在初中的平面直角坐標系和方程的相關知識的基礎上，直接引入直線與方程和圓的方程的知識.分節討論直線的傾斜角與斜率、直線的方程、直線的交點坐標與距離和圓的方程.教科書中本部分主要內容是如何用代數方法研究直線.本部分內容首先探求確定直線位置的幾何要素，然后給出不同確定直線方程和圓的方程的方法.再是用代數方法研究有關的幾何問題：判定兩直線的位置關系、圓與直線的位置關系、兩點間的距離等.在《新數學》中，關于坐標與直線的方程式，以及與圓的方程的關系的介紹設置在一章中，首先引入直線和平面上的點的坐標、點間的距離、線段的內分、內分點的坐標四個方面的相關內容，然后再深入由斜率和直線上的點的坐標求直線方程式，學習直線之間的位置關系，最后再進一步引入圓的表達式及求解方法，研究圓與直線之間的位置關系.在內容布置上，這一章從一維直線入手，再深入到二維平面，引入一系列相關的概念，一步步地深入，使得引出直線與方程和圓的方程的知識相對而言更容易被學生接受，使學生能進一步理解直線與方程之間本質的聯系.

相比之下，《新數學》中的“直線與方程”內容基于初中所學的直線的一般式對不同類型的直線的方程的題目進行求解，并沒有給出《數學》中涉及的點斜式、斜截式、兩點式的一般形式.這樣的安排更加注重基礎知識的掌握，更容易被學生所理解.這在一定程度上降低了教科書的難度.

二、內容結構上，教科書應更注重基礎

通過前面知識結構比較，我們發現兩本書在知識點的涉及上沒有較大的區別，但在知識點的引入先后順序上有一定的差異，并且在知識點的介紹方式上也各有特點.

我們通過對其中兩條直線交點的求法來展現兩本書的異同點.《數學》：在第三節中由思考題引出如何求兩條直線的交點這個問題.通過建立幾何與代數之間的聯系，用代數方法求出兩條直線的交點，寫出兩條直線的方程A1x+B1y+C1=0 和A2x+B2y+C2=0，聯立求解，若方程有唯一解，則兩直線相交，此解就是交點;若方程無解，則兩直線無公共點，此時兩條直線平行.《新數學》：給出命題“平面上兩直線不平行即相交”，聯立方程求解，此解即為兩直線的交點，隨后通過一個具體例題進行演示.

《數學》中將直線與方程式的相關內容分階段提出，與學生在不同年齡的認知水平相適應，有利于學生更好地吸收知識，而且內容起到前后呼應的作用.而《新數學》則在第五章中集中提出，且內容比較簡單.與《數學》相比，《新數學》中的各個定理缺乏證明過程，欠缺嚴謹性.《數學》中對各個結論進行了一般情況下的推廣，有利于學生課后的思考以及思維的拓展.在這幾點上，值得《新數學》借鑒.

三、例題設置上，教科書應更注重歸納思想

《數學》在“直線的方程”的例題上主要以計算為主，通過6個例題來鞏固四種形式的直線方程式的求解;《新數學》則通過3個計算的例題，在初中已學的一般式基礎上分別推導斜截式、點斜式、兩點式的方程，給定以上的形式計算斜率和截距.《新數學》對例題求解的要求則是從斜截式出來推導其他形式的直線方程，而《數學》對例題的解決則是基于四種形式的直線方程的公式.

《數學》在“直線的關系”的6個例題由4個計算和2個應用題組成，通過計算交點和直線的位置關系來鞏固這部分知識;《新數學》則更加有針對性地設計3個例子，分別為由兩直線求交點坐標、求過一點與某直線平行以及過一點與某直線垂直的直線方程.《新數學》設置的例題更加基礎，更加有針對性，使學生在初次接觸新知識點時更易接受.

《新數學》在例題設置上將歸納思想體現得淋漓盡致，在直線的方程式、直線間的關系上均由例子引出結論，再由例題鞏固結論.例如，在引入直線間的關系的時候，教科書利用具體直線的圖像讓學生觀察分別得到平行與垂直時，直線的斜率之間的關系.再由歸納的方法過渡到一般直線的位置關系的判定原理.《數學》則更加注重演繹的方式，在直線的方程這一章均由演繹得到結論，再由習題對結論進行應用.

【參考文獻】

[1]飯高茂，松本幸夫.新數學II[M].日本東京：東京書籍株式會社，2009.

[2]中學數學課程教材研究開發中心.數學（必修2）.北京：人民教育出版社，2009.

[3]朱哲.日本教科書中的勾股定理[J].數學教學，2008（12）：37-40.

[4]田月思，王麗燕，駱旭蘭，朱哲.中日數學教科書中“平方根”內容比較[J].中學數學雜志（初中），2009（8）：34-36.