人口阻滯增長模型的參數估計與程序實現

鄭小洋 羅其莉 姚蕾 宋江敏

【摘要】本文直接從建立阻滯增長模型出發，培養學生應用MATLAB解決實際問題的計算和估計參數的能力.

【關鍵詞】阻滯增長模型;參數估計;最小二乘法;數值計算

引言 在大學生數學建模課程教學中有人口預測模型這部分內容，最開始導出的是人口指數增長模型，但是，對一般情況的人口預測效果不怎么好，后又建立了人口阻滯增長模型.這一過程的推導和教學能夠讓學生體會到怎么樣從一個粗略的模型提煉出一個能描述、反映和解決實際問題的數學模型，從而可以培養學生從實際問題抽象出適當的數學問題的建模能力.本文直接從建立阻滯增長模型出發，重在培養學生的建模思想、建模能力、以MATLAB軟件求解模型和估計模型參數的能力.

1.模型的建立

人口阻滯增長模型的原理：阻滯增長模型是考慮到自然資源、環境條件等因素對人口增長的阻滯作用，對指數增長模型的基本假設進行修改后得到的.阻滯作用體現在對人口增長率r的影響上，使得r隨著人口數量x的增加而下降.若將r表示為x的函數r（x），則它應是減函數，可以得到：

dxdt=r（x）x，x（0）=x0，（1）

這里x0為初始時的人口數量.

對人口增長率r（x）的一個簡單的假定是設r（x）為x的線性函數，即

r（x）=r0-sx，（r>0，s>0），（2）

這里r0為固有增長率.另外，假設自然資源和環境條件所能容納的最大人口數量xm，當x=xm時人口不再增長，即增長率r（xm）=0，代入（2）式得s=r0xm，則（2）式為

r（x）=r01-xxm，（3）

將（3）代入（1）得：

dxdt=r0x1-xxm，

x（0）=x0，（4）

注意微分方程（4）帶有兩個參數xm和r0.具體求解模型時，該問題就是求解帶參數的微分方程，這是個非常有意義的主題，可以引導學生去學習、討論相關的內容.另外，該模型是荷蘭生物學家Verhulst提出的，稱為Logistic模型，它在描述許多物種數量的變化規律以及社會經濟領域有廣泛的應用.

2.求解模型

這里從兩方面求解這個帶參數的微分方程模型.一個是教材敘述的分離變量法解該微分方程，得解析解

x（t）=xm1+xmx0-1e-r0t.（5）

另一個方法是以MATLAB軟件求解，其程序為dsolve（′Dx=r_0*x*（1-x/x_m）′，′x（0）=x_0′，′t′）.結果為：xm/（1+exp（-r0*t）*（xm-x0）/x0）.當然，較復雜的微分方程可以通過MATLAB軟件求數值解，這些內容可以指導學生課外去學習、實踐.

3.估計模型參數

人口阻滯增長模型的解（5）里含有兩個參數，這兩個參數可以通過某一國家或者某一地區的實際人口統計數據作參數估計，本文采用最小二乘法估計參數.如果直接用教材的線性二乘法估計參數，則需要對解作處理，可以參閱教材.這里調用MATLAB的函數lsqcurvefit就可以完成參數估計，該函數的算法原理，可以指導感興趣的學生課外學習.本文以《數學建模》教材的美國每隔10年（1790—1960）的人口統計數據（×106）估計該模型的兩個參數xm和r0.求解程序為：

函數文件logistic：function y=logistic（a，x）

x0=3.9; y=a（1）./（1+（a（1）/x0-1）.*exp（-a（2）*x））

主函數：

x=[0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17];

y=[3.9，5.3，7.2，9.6，12.9，17.1，23.2，31.4，38.6，50.2，62.9，76.0，92.0，106.5，123.2，131.7，150.7，179.3]; % 人口數量

a0=[570 0.03]; % 參數初值

[a，resnorm]=lsqcurvefit（@logistic，a0，x，y）

x1=linspace（0，18，100）;x0=3.9;

y1=a（1）./（1+（a（1）/x0-1）.*exp（-a（2）*x1））;

plot（10*x1+1790，y1）; hold; ?plot（10*x+1790，y，′o′）; axis（[1790 1970 3 240]）; xlabel（′年份/年′）; ?ylabel（′×e+006人′）;

title（′美國人口預測′）; legend（′擬合的值′，′實際值′）;

y1970=a（1）./（1+（a（1）/x0-1）.*exp（-a（2）*19））

求得的結果為：xm=226.0779，r0=0.3026，y1970=191.3787.注意xm的值不太理想，可再以較多的人口數據估計參數.

本文就在人口阻滯增長模型教學時應該注意的問題展開了討論，注重培養學生的建模能力以及用MATLAB軟件解決實際問題的能力.當然，進一步要求的是在課外指導學生學習本文涉及的MATLAB函數，例如dsolve和lsqcurvefit的算法原理.

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