定積分等式的證明方法探討

鄒莉

【摘要】本文對不同類型的定積分等式，通過若干典型例題來探討定積分等式證明的常用方法和證明思路.

【關(guān)鍵詞】換元法;分部積分法;構(gòu)造輔助函數(shù)法;泰勒公式法

1.換元法

（1）由兩端被積函數(shù)的中間變量確定變量代換，所證定積分等式兩端積分限相同，被積函數(shù)或所含抽象函數(shù)相同，但其變量不同

例1 設(shè)f（x）連續(xù)，且常數(shù)a>0，證明：∫a1fx2+a2x2dxx=∫a1fx+a2xdxx.

證明 令u=x2， ∫a1fx2+a2x2dxx=∫a21fu+a2udu2u=12∫a1fu+a2uduu+∫a2afu+a2uduu.又令u=a2t，

則∫a2afu+a2uduu=∫1aft+a2tta2-a2t2dt=∫a1ft+a2tdtt=∫a1fu+a2uduu.

∴ ∫a1fx2+a2x2dxx=∫a1fu+a2uduu=∫a1fx+a2xdxx.

（2）兩積分區(qū)間不同，且有包含關(guān)系

例2 設(shè)f（x）是區(qū)間-1，1上連續(xù)的偶函數(shù)，證明：∫2π0f（cosx）dx=4∫π20f（cosx）dx.

證明 ∫2π0f（cosx）dx=∫π20f（cosx）dx+∫ππ2f（cosx）dx+∫3π2πf（cosx）dx+∫2π3π2f（cosx）dx.

右端后三個積分限與右端第一個積分限比較易知，對它們分別作變量替換：

x-π2=t，x-π=t，x-3π2=t.

又∫2π0f（cosx）dx=∫π20f（cosx）dx+∫π20f（sint）dt+∫π20f（-cost）dt+∫π20f（-sint）dt=2∫π20f（cosx）dx+2∫π20f（sint）dt.

令t=π2-u，

∫π20f（sint）dt=∫0π2f[sin（π2-u）]du=∫π20f（cosx）dx，

即∫2π0f（cosx）dx=4∫π20f（cosx）dx.

2.分部積分法

當被積函數(shù)中含有f′（x）或變限積分時，通常采用分部積分法.

例3 若f（x）是連續(xù)函數(shù)，則∫x0∫u0f（t）dtdu=∫x0（x-u）f（u）du.

證明 ∫x0∫u0f（t）dtdu=u∫u0f（t）dtx0-∫x0uf（u）du=x∫x0f（t）dt-∫x0uf（u）du=x∫x0f（u）du-∫x0uf（u）du=∫x0（x-u）f（u）du.

3.構(gòu)造輔助函數(shù)

適用于在積分限中至少存在一點ξ或x0，使等式成立，基本思路是利用介值定理或中值定理，根據(jù)問題需要構(gòu)造輔助函數(shù).

例4 設(shè)f（x），g（x）在a，b上連續(xù)，證明至少存在一個ξ∈（a，b），使得f（ξ）∫bξg（x）dx=g（ξ）∫ξaf（x）dx.

證明 令F（x）=∫xaf（t）dt∫bxg（t）dt，由于f（x），g（x）在a，b上連續(xù)，

則F（x）在a，b上連續(xù)，在（a，b）內(nèi)可導，且F（a）=F（b）=0.由羅爾定理ξ∈（a，b），

使得F′（ξ）=0，即∫xaf（t）dt∫bxg（t）dt′x=ξ=0，

即f（ξ）∫bξg（x）dx-g（ξ）∫ξaf（x）dx=0.

∴f（ξ）∫bξg（x）dx=g（ξ）∫ξaf（x）dx.

【參考文獻】

（1）毛綱源.高等數(shù)學解題方法技巧歸納.華中科技大學出版社，2013.

（2）同濟大學數(shù)學教研室編.高等數(shù)學.第六版.北京：高等教育出版社，2007.

（3）孫清華，孫昊.高等數(shù)學疑難分析與解題方法[M].武漢：華中科技大學出版社，2009.

（4）王全迪，郭艾.高等數(shù)學教學輔導書[M].北京：高等教育出版社，2010.