同階無窮小量在證明二元函數極限不存在中的應用

聞卉

【摘要】本文通過具體的例題分析同階無窮小量在證明二元函數極限不存在中的應用，給出了這類題目的解題技巧.

【關鍵詞】 二元函數;極限不存在;同階無窮小量

1.引 言

二元函數極限的存在性是多元函數微積分教學中的重點內容，而證明二元函數極限的不存在則是學生學習過程中普遍存在的難點.下面通過具體例題分析如何借助同階無窮小量來證明二元函數的極限不存在，并給出這類題目的解題技巧.

2.實 例

例1 設f（x，y）=x2x+y，證明：lim（x，y）→0，0f（x，y）不存在.

解 極限的類型為00型未定式，故可設x+y=kx2（即x+y與x2為當x→0時的同階無窮小量），其中k為任意常數且不為零，由此得y=kx2-x.

因為limx→0

y=kx2-xf（x，y）=1k與k值有關，故lim（x，y）→0，0f（x，y）不存在.

例2 設f（x，y）=xx+y，證明：lim（x，y）→0，0f（x，y）不存在.

解 極限的類型為00型未定式，若將x與y視為相同的變量，則x與x+y具有相同的次冪，故可設y=kx，其中k為任意常數且不為零.

因為limx→0

y=kxf（x，y）=11+k與k值有關，故lim（x，y）→0，0f（x，y）不存在.

例3 設f（x，y）=xyx2+y2，證明：lim（x，y）→0，0f（x，y）不存在.

解 極限的類型為00型未定式，若將x與y視為相同的變量，則xy與x2+y2具有相同的次冪，故可設y=kx，其中k為任意常數且不為零.

因為limx→0

y=kxf（x，y）=k1+k2與k值有關，故lim（x，y）→0，0f（x，y）不存在.

例4 設f（x，y）=xy3x2+y6，證明：lim（x，y）→0，0f（x，y）不存在.

解 極限的類型為00型未定式，若將x與y3視為相同的變量，則xy3與x2+y6具有相同的次冪，故可設y3=kx，其中k為任意常數且不為零.

因為lim x→0

y3=kxf（x，y）=k1+k2與k值有關，故lim（x，y）→0，0f（x，y）不存在.

3.小 結

通過上述例題可以看出，人為選取特殊的路徑，即設置y的表達式，使得f（x，y）

中的分子分母為同階無窮小量，從而利用極限結果的不唯一性證明了這類多元函數極限的不存在性.

【參考文獻】

[1]蔡光興，李德宜.微積分[M].北京：科學出版社，2008.

[2]李逢高，鄭列，等.高等數學應用與提高[M].北京：科學出版社，2009.