關于球面上的直線及其推論

鄭恩斌

先看一個結論：

如圖1所示，在球面上，若互相平行的兩條直線（a和b）被第三條直線c所截，則同位角1與2相等、同旁內角2與3互補.

圖 1

為什么如此？

許多人都會懷疑這個結論，但這個結論卻是正確的.為什么正確？且聽下面分解.

在球面上，用平面截球面，都會得到圓，如果用平面通過球心截球面，得到的是大圓（我稱這個平面為大圓平面），不通過球心截球面，得到的是小圓（我稱這個平面為小圓平面）.目前人類認為，大圓為球面上的直線.為啥大圓是球面上的直線呢？數(shù)學家說這是因為連接球面上兩點的線以大圓的劣弧為最短.我認為，這個說法是有問題的.因為最短未必就是直的.直是絕對的，是沒有一點彎曲的，這才是幾何中的直.而球面是彎曲的，所以事實上大圓也是彎曲的.既然如此，那么為啥還要將大圓看成是直線呢？我認為，這是因為在垂直于大圓平面的方向上大圓是不彎曲的，是絕對平直的！

那么除了大圓之外，球面是否還有其他的直線呢？數(shù)學家說沒有了.我認為：有，除了大圓之外，球面上還有其他的直線，這就是小圓！因為在垂直于小圓平面的方向上小圓也是絕對平直的，沒有一點彎曲的！所以小圓也是球面上的直線！

小圓也是直線的另一個根據(jù)是，當球的直徑無限大時，無論是大圓還是小圓都會成為直線.

所以：

球面上，過兩點有無數(shù)條直線.

球面上，三點決定一條直線.

球面上，大圓圍成的角是角，小圓圍成的角也是角.

球面上，大圓圍成的三角形是三角形，小圓或小圓與大圓的混合圍成的三角形也是三角形.

球面上，三角形也可以相似.

球面上，過已知直線外一點只有一條直線與已知直線平行.

球面上，不相交的直線不一定平行.

球面上，三角形的內角和或等于或大于或小于180度.

球面上，同一直線的垂線不一定互相平行.

球面上，兩條直線平行的直線若被第三條直線所截，則同位角相等，同旁內角互補.

球面上，不平行的直線不一定相交.

球面上，兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，且同位邊相等，那么這兩條直線平行.

……

對黎曼幾何的理解：球面上，大圓（黎曼的直線）之外沒有大圓（黎曼的直線）與之平行.這當然是對的，是真理.在球面上一個確定的大圓之外怎么可能還有大圓與之平行呢？顯然是沒有.所以黎曼是對的.但沒有與大圓平行的大圓不等于沒有與大圓平行的小圓，也不等于沒有小圓與小圓的平行.我說的就是小圓與小圓及大圓與小圓的平行.

關于角的定義

其中大圓所圍成的角是角，小圓所圍成的角也是角.但是，由于小圓可以與大圓平行，所以小圓所圍成的角本質上也可以視為大圓所圍成的角.例如，如圖2所示，c和a為大圓，b為小圓.c與b圍成角1.由于a為平行于小圓b的大圓，a與c所圍成的角2與角1是同位角，是相等的.所以，我們可以視小圓所圍成的角1與大圓所圍成的角2是等價的.