高考壓軸題中恒成立問題的處理策略

房兵

【摘要】本文從恒成立一般思路方法入手，探討恒成立問題的處理策略.

【關鍵詞】參數分離;參數討論;數形結合;策略

恒成立問題是高三數學復習中一類重要的題型，它涉及不等式、函數的單調性、最值等知識點，考查數形結合、分類討論、轉化與化歸的思想，備受命題人的關注，由于解題方法多樣，而且對于具體的題目采用的方法不一，給學生的解題造成了一定的困難，筆者就此題型轉化的策略作一個探討.

策略一：參數分離法，轉化為最值問題

例1 （2011浙江理22）設函數

f（x）=（x-a）2lnx，a∈R.

（Ⅰ）若x=e為y=f（x）的極值點，求實數a;

（Ⅱ）求實數a的取值范圍，使得對任意的x∈（0，3e]，恒有f（x）≤4e2成立.

分析 作為浙江理科的壓軸題，它考查導數運算法則、導數運用、不等式等基礎知識，同時考查推理論證能力與分類討論等分析問題和解決問題的能力.我用參數討論法處理第（2）問時，求導f′（x）=（x-a）2lnx+1-ax，發現學生的困難在于：（1）另一個零點x0求不出來，只能確定范圍;（2）確定x0與a的大小關系時，要先用賦值法限制a的范圍;（3）分析單調性確定可能在哪個點取最大值，f（x）max=max{f（x0），f（3e）}（4）解不等式f（x0）≤4e2

f（3e）≤4e2，學生在那樣緊張的120分鐘里，很難有一個良好的心態通過分類討論解決此問題.僅有極少數優秀的學生能夠有時間答對此題.若首先選用參數分離法，避免分類討論，起到四兩撥千斤的作用.

【過程】（Ⅰ）略.

（Ⅱ）解法1：當0

當1

x-2e2lnx≤a≤x+2elnx.（*）

令F（x）=x-2elnx，x∈（1，3e]，則F（x）是單調遞增函數，∴F（x）max=F（3e）=3e-2eln3e.

令G（x）=x+2exlnx，x∈[1，3e]，

則G′（x）=1-exlnxlnx，令G′（x）=0，∴x=e.

當x∈（1，e）時，G′（x）<0，G（x）單調減;

當x∈（e，3e）時，G′（x）>0，G（x）單調增，

所以[G（x）]min=G（e）=3e.

∵x∈（1，3e]，恒有f（x）≤4e2成立

∴由（*）式得：x-2e2lnxmax≤a≤x+2elnxmin.

綜上：實數a的取值范圍是[3e-2eln3e，3e].

從高考解題得分的角度來看，這種化未知為已知，避繁就簡的原則尤為重要.

策略二：參數討論法，直接轉化為函數的最值問題

例2 （2010全國理21）設函數f（x）=ex-1-x-ax2.

（Ⅰ）若a=0，求f（x）的單調區間;

（Ⅱ）若當x≥0時，f（x）≥0，求a的取值范圍.

分析 本題作為全國理科壓軸題，由指數函數與二次函數（或一次函數）拼接而成，結構簡單，學生容易上手.若用參數分離法，得到a≤ex-x-1x2，而右邊的函數無最小值，雖有下極限但超出高中的范圍無法求出，不能最終解決問題，此時可通過導數研究函數的單調性，借助于函數圖像處理.

【過程】（Ⅰ）略.

（Ⅱ）∵f（x）=ex-1-x-ax2（x≥0），

∴f′（x）=ex-1-2ax.

（非基本函數的零點若不能直接求出，可通過觀察，先討論無零點的情況）

（ⅰ）當2a≤0時，∵x≥0，

∴f′（x）=ex-1-2ax≥0.

∴f（x）在（0，+∞）單調增.

∴f（x）≥f（0）=0，符合條件.

（ⅱ）當2a>0時，f″（x）=ex-2a.

（討論非基本函數有零點情況時，可二次求導研究導函數的單調性，步驟與上面研究原函數的單調性一致）

（a）當0<2a≤1時，即0

f″（x）=ex-2a≥0，

∴f′（x）在[0，+∞）上單調增，即f′（x）≥f′（0）=0.

∴f（x）在[0，+∞）上單調增，即f（x）≥f（0）=0.

（b）當2a>1時，即a>12時，

令f″（x）=0，x=ln（2a）.

當x∈（0，ln（2a））時，f″（x）<0，f′（x）單調減;

當x∈（ln（2a），+∞）時，f″（x）>0，f′（x）單調增，

∴當x∈（0，ln2a）時，f′（x）

∴f（x）在（0，ln2a）遞減，即當x0∈（0，ln2a）時，f（x0）

綜上：a≤12.

參數討論與參數分離相比，需找臨界點討論，有一定思維難度，但也是命題者的本意，高考命題者在設計命題時，就可以設計到用分離變量的方法不能解決問題（在高中的范圍內），故平時練習評講時，要從兩個角度思考問題，在解決問題的過程中感悟參數“分離”還是“分類”的適用條件，提高解題能力.

若前兩種方法無法入手，可從圖像角度思考，轉化為兩圖像的位置關系，可起到出其不意的效果.

對于恒成立問題，既要明確解題思路，又要根據題意靈活轉化，才能提高解題正確率，優化解題方法.