柯西中值定理點滴

耿鎖華

【摘要】本文簡述了柯西中值定理的物理意義，給出了定理的積分證明，最后從定理的一種錯誤證明中給出羅必達法則的另一證明.

【關(guān)鍵詞】柯西中值定理;拉格朗日微分中值定理;羅必達法則

【中圖分類號】O174.2 ?【文獻標識碼】A

預(yù)備知識

1.柯西中值定理：如果函數(shù)f（x），g（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，對任意x∈（a，b），F(xiàn)′（x）≠0，那么開區(qū)間（a，b）內(nèi)至少有一點ξ，ξ∈（a，b），使得函數(shù)f（x），g（x）在該點的導(dǎo)數(shù)有：f（b）-f（a）g（b）-g（a）=f′（ξ）g′（ξ）.

2.羅必達法則：設(shè)（1）當x→a（Δx→0）時，函數(shù)f（x），g（x）都趨近于零（無窮小量）;

（2）在點a的某去心鄰域內(nèi)，f′（x），g′（x）都存在且g′（x）≠0;

（3）limx→af′（x）g′（x）存在（或為無窮大），

那么limx→af（x）g（x）=limx→af′（x）g′（x）.

3.拉格朗日中值定理：如果函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，那么在開區(qū)間（a，b）內(nèi)至少有一點ξ，ξ∈（a，b），使得

f′（ξ）=f（b）-f（a）b-a或f（b）-f（a）=f′（ξ）（b-a）.

一、概 說

羅爾、拉格朗日、柯西三大中值定理是反映函數(shù)與導(dǎo)數(shù)之間聯(lián)系的重要定理，也是微積分學(xué)的理論基礎(chǔ)，在許多方面它們都有重要的作用.我們的微積分教材是直接給出定理，事實上可以用物理、幾何知識引導(dǎo)，以減少學(xué)習(xí)時的唐突;教材著重討論、運用羅爾、拉格朗日兩中值定理，對于柯西中值定理在證明羅必達法則后就很少出現(xiàn).鑒于此點，本文就柯西中值定理展開一些討論.

柯西中值定理包含的內(nèi)容最廣，如果g（x）=x可導(dǎo)出拉格朗日中值定理，再加上條件f（b）=f（a）可進一步導(dǎo)出羅爾中值定理.

柯西中值定理中的幾何意義：兩光滑曲線在同弧段上至少存在一點，在此點處的兩曲線的長度之比等于兩曲線的斜率之比.

柯西中值定理中的物理意義：兩運動在同時段中至少存在一點，在此點處兩運動的路程（位移）之比等于它們的速度之比.

柯西中值定理中的應(yīng)用：涉及兩函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、定積分之比的應(yīng)用題、證明題可考慮運用柯西中值定理.

二、柯西中值定理的證明

（1）經(jīng)典證明

簡潔、經(jīng)典、公認的證明還是教材中給出的，建立輔助函數(shù)，利用羅爾中值定理證明.可見各高等數(shù)學(xué)教材.

（2）物理引導(dǎo)反證

物理學(xué)中的路程（位移）、速度等同于數(shù)學(xué)中的函數(shù)、導(dǎo)數(shù)，不過也還是有區(qū)別的.我們知道任何物體有速度，并且還有速度的速度（加速度）;然而在數(shù)學(xué)中就達不到這一點，不是任何函數(shù)的導(dǎo)數(shù)都存在，更不用說二階導(dǎo)數(shù)，但我們還是可以利用物理學(xué)中的速度對柯西中值定理進行引導(dǎo).

給定兩運動sf，sg在區(qū)間[a，b]上分別過點[a，f（a）]，[b，f（b）]和[a，g（a）]，[b，g（b）]，并假設(shè)k0=f（b）-f（a）g（b）-g（a），k=f′（x）g′（x），x∈[a，b].

我們以運動sg為基準，如果恒有k=k0，那么在同時段中，運動sf以速度f′（x）（其中f′（x）=kg′（x））從點[a，f（a）]開始運動到點[b，f（b）]處.

事實上：f（b）-f（a）=∫baf′（x）dx，g（b）-g（a）=∫bag′（x）dx，

那么S=∫bakg′（x）dx=∫bak0g′（x）dx=k0∫bag′（x）dx=k0（g（b）-g（a））=f（a）-f（b）.

柯西中值定理推導(dǎo)如下：（恒有k=k0時，定理成立）

反證，假設(shè)不存在這樣一點，使得k=k0成立，那么變量k與常量k0相比不是大于就是小于.

如果存在一點k>k0，另一點k

證明時構(gòu)造函數(shù)F（x）=f′（x）-k0g′（x）即可.

如果全部大于（或小于）k>k0，那么以運動sg為基準，運動sf以速度f′（x）（其中f′（x）=kg′（x））從點[a，f（a）]開始運動經(jīng)過同時段后就會得到高于點[b，f（b）]的點.

S=∫bakg′（x）dx>∫bak0g′（x）dx

=k0∫bag′（x）dx=k0（g（b）-g（a））=f（a）-f（b）.

意味著同時段運動中速度快的與速度慢的路程（位移）數(shù)值一致，矛盾！故定理成立.

本文的推導(dǎo)與教材中的證明是無法相比的，但作為擴展思維，加強物理運用還是十分恰當?shù)?

（3）錯誤證明

柯西中值定理中給出的兩函數(shù)都滿足拉格朗日微分中值定理，從而可知

f（b）-f（a）=f′（ξ）（b-a），g（b）-g（a）=g′（ξ）（b-a）.

兩式比較就得f（b）-f（a）g（b）-g（a）=f′（ξ）g′（ξ）.注意證明是錯誤的.

（4）錯誤證明的運用

在（3）的證明過程中我們忽視了兩等式中ξ是否要求一致，故不正確.然而我們可以反思，如果可以忽略ξ的共同性，上述證明就可行了.

我們補充條件：在點x=a處定義函數(shù)值f（a）=g（a）=0，f′（x），g′（x）具有連續(xù)性，則函數(shù)f（x）g（x）在點a的鄰域內(nèi)連續(xù)，那么在區(qū)間a，x（或x，a）上，f（x）g（x）滿足拉格朗日微分中值定理的全部條件，因此有：

f（x）g（x）=f（x）-f（a）g（x）-g（a）=f′（ξ1）g′（ξ2），（a<ξ1，ξ2

其中雖然ξ1與ξ2數(shù)值不一定相同，但當x→a時，顯然有ξ1→a，ξ2→a，于是求上式兩邊的極限得：

limx→af（x）g（x）=limξ1→a

ξ2→af′（ξ1）g′（ξ2）=A（或∞）.

證明補充了條件，無關(guān)大局，原因是個別點的函數(shù)值不影響極限的存在性;另初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)都可導(dǎo)，其導(dǎo)數(shù)仍然可導(dǎo).

證明放寬了極限條件，教材中要求limx→af′（x）g′（x）=A（或∞），證明只要求limξ1→a

ξ2→a f′（ξ1）g′（ξ2）=A（或∞）就可.

三、后 記

我們是先認知速度然后導(dǎo)數(shù)，用速度來加深導(dǎo)數(shù)的學(xué)習(xí)是理所當然的事，本文也是如此;牛頓的導(dǎo)數(shù)概念也淵源于速度的研究，今天的高等數(shù)學(xué)教材和我們的教學(xué)過程中，在導(dǎo)數(shù)學(xué)習(xí)時也沒離開過物理學(xué)中運動、速度的牽引，但以后的內(nèi)容更多的是用導(dǎo)數(shù)求速度，而不再求源，探究速度對導(dǎo)數(shù)學(xué)習(xí)、研究的引導(dǎo).事實上，我們可以進一步利用速度和一些基本常識、熟悉的物理知識概念來緩沖我們大學(xué)生在學(xué)習(xí)和研究導(dǎo)數(shù)概念、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用時的認知、接受過程，引導(dǎo)學(xué)生認知到許多抽象的數(shù)學(xué)知識、公式就在我們身邊.

本文用拉格朗日中值定理證明羅必達法則，那么在微積分教材中可回避柯西中值定理，因為許多微積分教材中的柯西中值定理就是為了證明羅必達法則而存在的.

【參考文獻】

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