關于初等函數概念的若干注記

楊麗霞 徐裕光

【摘要】初等函數的概念是微積分中重要的基本概念，它的一般定義是“由基本初等函數經過有限次四則運算和有限次復合步驟所得到的函數為初等函數”.但在對待初等函數這個概念與之相關的一些問題上，存在一些模糊的認識.本文通過構造若干實例討論了這些問題，可供教師教學和學生學習時參考.

【關鍵詞】初等函數;分段函數;無限次四則運算;無限次復合運算

一、初等函數與分段函數

教材[1]在介紹初等函數概念時斷言“不是用一個式子表示的函數，就不是初等函數”.通常，分段函數在其定義域的各個部分上用對應的解析式表示函數關系，有時是不能用一個解析式表示函數關系，有時卻是為了使函數關系更為明確，才表示為分段函數的.

例1 f（x）=x ?x≥0，

-xx<0.

函數f（x）的上述表達式是分段函數形式，但f（x）的等價表達式

f（x）=x2=x x∈R

卻清楚地表明它是定義在實數集上的初等函數.

例2 ?g（x）=1 ?x>0，

-1x<0.是定義在上的分段函數.g（x）在R上有一間斷點x=0，但 g（x）的另一等價形式：g（x）=x2x，表明g（x）是初等函數.

例3 函數 D（x）=1 x∈[0，1]且為有理數;

0 x∈[0，1]且為有理數.

它不是初等函數，并不是因為它是分段函數，原因在于D（x）在定義區間[0，1]上處處不連續，而初等函數在其定義區間上應當是連續的（參見[2]）.

所以，函數的分段表示并不能用來判斷是否為初等函數的依據.因函數的分段表示在數學問題或其他應用問題中有其特殊的方便之處.如果沒有分段函數，像D（x）這樣簡單的Lebesgue可測函數的解析表達就遇到困難了.

二、初等函數與無限次四則運算

依照初等函數的定義，基本初等函數通過有限次四則運算產生初等函數，那么基本初等函數無限次四則運算的結果是否為初等函數？這個問題需要作兩方面的討論.

一方面，基本初等函數無限次四則運算的結果可以是初等函數，如：

例4 ex=1+x+x22！+…+xnn！+… x∈R.

例5 11-x=1+x+x2+x3+…+xn+… |x|<1.

這兩個例子有一點細微的差別：例4中的函數 f（x）=ex 的定義域與其冪級數展開式中每一項的定義域同為R，例5中的函數g（x）=11-x的定義域受到限制，而和其冪級數展開式中每一項的定義域不同.

另一方面，基本初等函數無限次四則運算的結果可以不是初等函數.

例6 設有一列定義在區間[0，1]上的基本初等函數如下：

f1（x）=x，f2（x）=x2， f3（x）=x3，…，fn（x）=xn，….

其前n個函數的乘積為初等函數：

Fn（x）=f1（x） 瘙 簚 f2（x） 瘙 簚 f3（x） 瘙 簚 … 瘙 簚 fn（x）=xn（n+1）2.

但其無限個函數的乘積：

F（x）=limn→∞Fn（x）=0 0≤x<1;

1 x=1

不是[0，1]上的初等函數，因為它在定義區間上不連續.

三、 初等函數與無限次的復合運算

基本初等函數在有限次復合運算下生成初等函數，那么在無限次復合運算下是否生成初等函數？這個問題也需要作兩方面的討論.

一方面，一個初等函數經過無限次復合后可以是初等函數.

例7 設有初等函數f（x）=45（x+4）-4，x∈R.

因為：

f2（x）=f[f（x）]=452（x+4）-4，

f3（x）=f[f2（x）]=453（x+4）-4.

使用數學歸納法，我們有：

fn（x）=f[fn-1（x）]=45n（x+4）-4，x∈R，n∈N.

函數的這種復合方式被稱作f（x）的n次迭代.于是當迭代次數無限增加，即復合步驟為無限時，

F（x）=limn→∞fn（x）=-4，x∈R.

顯然，F（x）是初等函數.

另一方面，初等函數經無限次復合步驟后結果可以不是初等函數.

例8 設有初等函數f（x）=x2，x∈[0，1].因為：

f2（x）=f[f（x）]=x4，f3（x）=f[f2（x）]=x8，…，

我們有：

fn（x）=f[fn-1（x）]=x2n，x∈[0，1]，n∈N.

于是，當復合次數無限增加時，則

F（x）=limn→∞fn（x）=0 x∈[0，1）;

1 x=1.

顯然，F（x）在其定義區間上并不是連續函數，因此它不是初等函數.

其實，數學研究中經常用積分來表示非初等函數，如：

∫e-x2dx，∫dxlnx，∫x1sinttdt.

初等函數類是微積分研究中最基本的對象，初等函數概念是微積分研究中的基本概念.對這個概念的討論，有利于澄清一些對于初等函數概念的模糊認識，有利于提高學生對微積分的學習，有利于學生對數學的嚴謹性和科學性的認識.

【參考文獻】

[1]中央電大經濟數學編寫組.經濟應用數學基礎[J].中央廣播電視大學出版社，1991.

[2]復旦大學數學系.數學分析[J].復旦大學出版社，2003.