教本探源求二項(xiàng)展開式的某項(xiàng)或某項(xiàng)的系數(shù)

洪開科

【關(guān)鍵詞】組合推導(dǎo)法;通項(xiàng)公式;二項(xiàng)式定理;二項(xiàng)展開式;某項(xiàng)或某項(xiàng)的系數(shù);某項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù);選取性;有序性

求二項(xiàng)展開式的某項(xiàng)或某項(xiàng)的系數(shù)是高考數(shù)學(xué)的一個(gè)基本知識點(diǎn)，每年的高考題都有一定的題目出現(xiàn)，人們往往利用二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式去解決，卻忽視了推導(dǎo)二項(xiàng)式定理的原理，組合計(jì)數(shù)推導(dǎo)法，這是偉大的物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家牛頓在1665年推導(dǎo)二項(xiàng)式定理的方法，我命名為“組合推導(dǎo)法”，多項(xiàng)式的乘法本質(zhì)是其結(jié)果由每個(gè)括號中取一項(xiàng)相乘的所有單項(xiàng)式合并同類項(xiàng)得到的.教材中二項(xiàng)式定理的推導(dǎo)就是將（a+b）n看成n個(gè)a+b相乘，從每個(gè)括號中取一項(xiàng)（非a即b）相乘的所有單項(xiàng)式合并同類項(xiàng)得到的，按取b的個(gè)數(shù)分為n+1類，不取b的是C0nan;取1個(gè)b的是C1nan-1b，…，取r個(gè)b的是Crnan-rbr，…，取n個(gè)b的是Cnnbn，這就是組合推導(dǎo)法.理解了這個(gè)方法二項(xiàng)式定理就可信手拈來了，也可按取a的個(gè)數(shù)分為n+1類寫出來.應(yīng)用組合推導(dǎo)法求二項(xiàng)展開式的某項(xiàng)或某項(xiàng)的系數(shù)要注意三點(diǎn)：

第一是選取性，二項(xiàng)式的兩項(xiàng)怎樣選取（各取幾個(gè)）才能構(gòu)成所求的項(xiàng).

第二是有序性，（a+b）n的展開式第r+1項(xiàng)是取r個(gè)b（同時(shí)取n-r個(gè)a），這里的a，b不能互換.

第三是項(xiàng)、項(xiàng)的系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)的區(qū)別，某項(xiàng)要把這一項(xiàng)全部寫出來，某項(xiàng)的系數(shù)只寫這一項(xiàng)的系數(shù)不要帶字母（即把每個(gè)字母當(dāng)作數(shù)1），某項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)就是相應(yīng)的組合數(shù)Crn.

一、直接求二項(xiàng)展開式的某項(xiàng)或某項(xiàng)的系數(shù)

1.（2014年高考湖南卷）12x-2y5的展開式中x2y3的系數(shù)是（ ?）.

A.-20 ? ?B.-5 ? ?C.5 ? ?D.20

解析 12x要取2個(gè)，故x2y3的系數(shù)為C25122·（-2）3=-20，故選A.

2.（2014年高考全國大綱卷）xy-yx8的展開式中x2y2的系數(shù)是.（用數(shù)字作答）

解析 依題xy要取4個(gè)，故x2y2系數(shù)是C48（-1）4=70.

3.（2010年高考四川卷）的展開式2-13x6中的第四項(xiàng)是.

解析 依題-13x要取3個(gè)，故第四項(xiàng)是T4=C3623-13x3=-160x

4.（2014年高考四川卷）在x（1+x）6的展開式中，含x3的項(xiàng)的系數(shù)為（ ?）.

A.30 B.20C.15D.10

解析 依題（1+x）6中 x要取2個(gè)，故x3的系數(shù)為C26=15，故選C.

5.（2014年高考全國卷1）（x-y）（x+y）8的展開式中x2y7的系數(shù)是.

解析 原式可化為x（x+y）8-y（x+y）8，依題兩部分的（x+y）8中x分別要取1個(gè)和取2個(gè)，故x2y7的系數(shù)是C18- C28=-20.

二、已知二項(xiàng)展開式的某項(xiàng)或某項(xiàng)的系數(shù)，求相應(yīng)的常數(shù)

6.（2014年高考全國卷2）（x+a）10的展開式中x7的系數(shù)為15，則a=.

解析 依題a要取3個(gè)，故系數(shù)是C310a3=15，解得a=18.

7.（2014年高考湖北卷）若二項(xiàng)式2x+ax7的展開式中1x3的系數(shù)是84，則實(shí)數(shù)a=（ ?）.

A.2B.54C.1D.24

解析 依題2x要取2個(gè)，故系數(shù)是C2722a5=84，解得a=1，故選C.

8.（2014年高考山東卷）若ax2+bx6的展開式中x3的項(xiàng)系數(shù)為20，則a2+b2的最小值為.

解析 依題ax2要取3個(gè)，故系數(shù)是C36a3b3=20，解得ab=1.

由a2+b2≥2ab=2，得所求最小值為2.

9.（2013年高考新課標(biāo)全國卷2）已知（1+ax）（1+x）5的展開式中x2的系數(shù)為5，則a=（ ?）.

A.-4B.-3C.-2D.-1

解析 原式可化為（1+x）5+ax（1+x）5，依題兩部分的（1+x）5中x分別要取2個(gè)和取1個(gè)，故x2的系數(shù)為C25+aC15=5，解得a=-1，故選D.

上述例子說明了，應(yīng)用組合推導(dǎo)法求二項(xiàng)展開式的某項(xiàng)或某項(xiàng)的系數(shù)比套用通項(xiàng)公式又快又好，可以起到事半功倍的效果.