利用排除法巧解考研數學中的選擇題

許進

【摘要】以考研數學歷年真題為例，分析說明在解答考研數學中的選擇題時，若恰當運用排除法，則可以起到事半功倍的效果.

【關鍵詞】高等數學;微積分;線性代數;選擇題;排除法

引 言

高等數學是理工類專業的基礎課.在研究生入學考試中，高等數學不僅是報考理工類專業的考生的必考科目，也是報考經濟學、農學、醫學等專業的考生的必考科目，所考查的內容包括微積分、線性代數、空間解析幾何（數學二、數學三不要求）、概率論與數理統計（數學二不要求），所考查的題型有選擇題、填空題和解答題（包括計算題和證明題）三種，其中選擇題約占全卷總分的21%，均為單項選擇題.在選擇題中，有些問題若直接求解，則較為困難或運算過程較為繁瑣，這時若巧用排除法[1-6]，則可以方便快捷地選出正確的選項.

本文將以歷年考題為例來分析說明在解答考研數學中的選擇題時，若恰當運用排除法，則可以起到事半功倍的效果.

1.函數的性態

例1 以下四個命題中正確的是（ ?）.

A.若f′（x）在（0，1）內連續，則f（x）在（0，1）內有界

B.若f（x）在（0，1）內連續，則f（x）在（0，1）內有界

C.若f′（x）在（0，1）內有界，則f（x）在（0，1）內有界

D.若f（x）在（0，1）內有界，則f′（x）在（0，1）內有界

解 令f（x）=1x，則f′（x）=-1x2，顯然，f′（x）和f（x）都在（0，1）內連續，但f（x）在（0，1）內無界，則A，B都不正確.

令f（x）=x，顯然f（x）在（0，1）內有界，但f′（x）=12x在（0，1）內無界，則D不正確.

故應選C.

2.數列的極限

例2 設{an}，{bn}，{cn}均為非負數列，且limn→∞an=0，limn→∞bn=1，limn→∞cn=∞，則必有（ ?）.

A.an

C.極限limn→∞ancn不存在D. 極限limn→∞bncn不存在

解 由假設條件可知limn→∞an0，當n>N后有an

若取an=1n2，cn=n，顯然limn→∞an=0，limn→∞cn=∞，

而limn→∞ancn=limn→∞nn2=0，從而C不正確，故應選D.

例3 設數列{xn}與{yn}滿足limn→∞xnyn=0，則下列斷言正確的是（ ?）.

A.若xn發散，則yn必發散

B. 若xn無界，則yn必有界

C.若xn有界，則yn必為無窮小

D.若xn為無窮小，則yn必為無窮小

解 若取xn=n，yn=1n2，顯然（A）不正確.

若取xn=n，n為偶數;

0，n為奇數. yn=0，n為偶數;

n，n為奇數.

則limn→∞xnyn=0，且xn無界，但yn也無界，則B不正確.

若取xn=1n2，yn=n，顯然C不正確.

故應選D.

3.函數的極限

例4 設對任意的x總有φ（x）≤f（x）≤g（x），且limn→∞[g（x）-φ（x）]=0， 則limx→∞f（x）（ ?）.

A.存在且等于零B.存在但不一定為零

C.一定不存在D.不一定存在

解 若令φ（x）=1-1x2，g（x）=1+1x2，f（x）=1，

顯然φ（x）≤f（x）≤g（x），且limx→∞[g（x）-φ（x）]=0，此時limx→∞f（x）=1.

則A和C不正確.

若令φ（x）=x-1x2，f（x）=x，g（x）=x+1x2，

則φ（x）≤f（x）≤g（x），且limx→∞[g（x）-φ（x）]=0，但limx→∞f（x）=∞（不存在）.

從而B不正確，故D正確.

例5 設函數f（x）在（-∞，+∞）單調有界，{xn}為數列，下列命題正確的是（ ?）.

A.若{xn}收斂，則{f（xn）}收斂

B.若{xn}單調，則{f（xn）}收斂

C.若{f（xn）}收斂，則{xn}收斂

D.若{f（xn）}單調，則{xn}收斂

解 令f（x）=arctanx，x≤0;

1+arctanx，x>0. xn=（-1）nn.

顯然f（x）在（-∞，+∞）上單調有界，limn→∞xn=0收斂，但

f（xn）=arctan（-1n），n為奇數;

1+arctan1n，n為偶數.

limn→∞f（xn）不存在，則A不正確.

令f（x）=arctanx，xn=n.

limn→∞f（xn）=limn→∞arctann=π2收斂，且f（xn）=arctann單調，但limn→∞xn=0，則C，D均不正確，故應選B.

例6 若limx→0xf（x）+sin6xx3=0，則limx→0f（x）+6x2等于（ ?）.

A.0 ? ?B.6 ? ?C.36 ? ?D.∞

解 令xf（x）+sin6x=0，顯然有limx→0xf（x）+sin6xx3=0，此時，f（x）=-sin6xx，

limx→0f（x）+6x2=limx→06-sin6xxx2=limx→06x-sin6xx3=36，

顯然A，B，D均不正確，故應選C.

4.一元函數的連續性與可導性

例7 設f（x）和φ（x）在（-∞，+∞）上有定義，f（x）為連續函數，且f（x）≠0，φ（x）有間斷點，則（ ?）.

A.φ[f（x）]必有間斷點

B.[φ（x）]2必有間斷點

C.f[φ（x）]必有間斷點

D.φ（x）f（x）必有間斷點

解 設f（x）≡1，φ（x）=1，x≥0;

-1，x<0. 顯然f（x），φ（x）符合題設條件，而

φ[f（x）]≡1，[φ（x）]2≡1，f[φ（x）]≡1都處處連續，則排除（A）（B）（C）， 故應選（D）.

例8 設f（0）=0，則f（x）在點x=0可導的充要條件為（ ?）.

A.limh→01h2f（1-cosh）存在

B.limh→01hf（1-eh）存在

C.limh→01h2f（h-sinh）存在

D.limh→01h[f（2h）-f（h）]存在

解 由于limh→0f（1-cosh）h2=limh→0f（1-cosh）-f（0）1-cosh1-coshh2=12limh→0f（1-cosh）-f（0）1-cosh=12f′+（0），

由于1-cosh>0，則A中極限存在只能推得f（x）在x=0處的右導數存在，所以A不正確.

若取f（x）=x23，顯然f′（0）不存在，但

limh→01h2f（h-sinh）=limh→0（h-sinh）23h2=limh→0h-sinhh323=1623存在，所以C不正確.

若取f（x）=1，x≠0;

0，x=0.顯然f′（0）不存在，因為f（x）在x=0處不連續，但

limh→01h[f（2h）-f（h）]=limh→01h[1-1]=0，所以D不正確.

故應選B.

例9 設f（x）在點x=a處可導，則函數|f（x）|在點x=a處不可導的充分條件是（ ?）.

A.f（a）=0且f′（a）=0B.f（a）=0且f′（a）≠0

C.f（a）>0且f′（a）>0D.f（a）<0且f′（a）<0

解 若令f（x）=（x-a）2，顯然f（a）=0，f′（a）=0，但|f（x）|=（x-a）2在x=a可導，則A不正確.

若f（a）>0，由于f（x）在x=a處可導，則f（x）在x=a處連續，從而在x=a的某鄰域內f（x）>0，此時|f（x）|=f（x），|f（x）|與f（x）在x=a處可導性相同，故C不正確.

同理D不正確，故應選B.

5.反常積分

例10 下列反常積分發散的是（ ?）.

A. ∫1-1dxsinxB. ∫1-1dx1-x2

C.∫+∞0e-x2dxD.∫+∞2dxxln2x.

解 ∫1-1dx1-x2=arcsinx1-1=π收斂;

因為12π∫+∞-∞e-x22dx=1，

所以∫+∞0e-x2dx肯定收斂;∫+∞2dxxln2x=1lnx+∞2=1ln2收斂.

故應選A.

6.多元函數的連續性、可導性與可微性

例11 二元函數f（x，y）在點（0，0）處可微的一個充分條件是（ ?）.

A.lim（x，y）→（0，0）[f（x，y）-f（0，0）]=0

B.limx→0f（x，0）-f（0，0）x=0且limy→0f（0，y）-f（0，0）y=0

C.lim（x，y）→（0，0）f（x，y）-f（0，0）x2+y2=0

D.limx→0[fx（x，0）-fx（0，0）]=0且limy→0[fy（0，y）-fy（0，0）]=0

解 因為連續和可導都不是可微的充分條件，則A，B都不正確.

取f（x，y）=0，xy≠0;

1，xy=0.

則limx→0[fx（x，0）-fx（0，0）]=0且limy→0[fy（0，y）-fy（0，0）]=0，但f（x，y）在（0，0）點處不可微，因為f（x，y）在（0，0）處不連續，故應選C.

7.偏導數與全微分

例12 設函數u（x，y）=φ（x+y）+φ（x-y）+∫x+yx-yψ（t）dt，其中φ具有二階導數，ψ具有一階導數，則必有（ ?）.

A.2ux2=-2uy2B. 2ux2=2uy2

C.2uxy=2uy2D.2uxy=-2ux2.

解 令φ（x）=x2，ψ（x）≡0，則u（x，y）=（x+y）2+（x-y）2=2x2+2y2，

2ux2=4，2uy2=4，2zxy=0， 顯然A，B，C均不正確，故應選B.

8.多元函數的極值

例13 設z=f（x，y）在點（0，0）處連續，且limx→0y→0f（x，y）sin（x2+y2）=-1，則（ ?）.

A.fx（0，0）不存在

B.fx（0，0）存在但不為零

C.f（x，y）在點（0，0）處取極小值

D.f（x，y）在點（0，0）處取極大值

解 取f（x，y）=-（x2+y2），顯然滿足原題條件，但fx（0，0）=0，f（x，y）=-（x2+y2）在（0，0）取極大值，因此選項A，B，C均不正確，故應選D.

9.二重積分

例14 設區域D{（x，y）|x2+y2≤4，x≥0，y≥0}，f（x）為D上正值連續函數，a，b為常數，則Daf（x）+bf（y）f（x）+f（y）dσ等于（ ?）.

A.abπB.ab2π

C.（a+b）πD.a+b2π

解 取f（x）≡1，顯然符合題設條件，而

Daf（x）+bf（y）f（x）+f（y）dσ=12D（a+b）dσ=a+b2π.

顯然A，B，C均不正確，故應選D.

10.無窮級數

例15 設∑∞n=1un為正項級數，下列結論正確的是（ ?）.

A.若limn→∞nun=0，則∑∞n=1un收斂

B.若存在非零常數λ，使limn→∞nun=λ，則∑∞n=1un發散

C.若∑∞n=1un收斂，則limn→∞n2un=0

D.若∑∞n=1un發散，則存在非零常數λ，使得limn→∞nun=λ

解 考慮an=1nlnn，級數∑∞n=21nlnn發散，但limn→∞nan=limn→∞1lnn=0，則A，B都不正確.

考慮an=1n2，顯然級數∑∞n=1an收斂，但limn→∞n2an=1≠0，則C不正確.

故應選B.

例16 設0≤an<1n（n=1，2，…），則下列級數中肯定收斂的是（ ?）.

A.∑∞n=1anB.∑∞n=1（-1）nan

C.∑∞n=1anD.∑∞n=1（-1）na2n

解 （1） 取an=12n，顯然0

（2）取an=12n，當n為奇數;

12n，當n為偶數.顯然有0≤an<1n，但

∑∞n=1（-1）nan=-12+14-123+18-…-122n-1+14n-…=-∑∞n=1122n-1+14∑∞n=11n，

而∑∞n=1122n-1收斂，∑∞n=11n發散，則∑∞n=1（-1）nan發散，則B不正確.

故應選D.

例17 設級數∑∞n=1un收斂，則必收斂的級數為（ ?）.

A.∑∞n=1（-1）nunnB.∑∞n=1u2n

C.∑∞n=1（u2n-1-u2n）D.∑∞n=1（un+un+1）

解 （1） 取un=（-1）nlnn，由Leibniz判別法可知∑∞n=1un收斂，但∑∞n=2（-1）nunn=∑∞n=21nlnn發散，則（A）不正確.

（2）取un=（-1）n-1n，顯然∑∞n=1un收斂，∑∞n=1u2n=∑∞n=11n發散，則（B）不正確，而

∑∞n=1（u2n-1-u2n）=∑∞n=1（12n-1+12n），由于12n-1+12n≥12n+12n=2n，而∑∞n=12n發散，則∑∞n=1（u2n-1-u2n）發散，C不正確，故應選D.

11.線性代數問題

例18 已知非零矩陣A滿足A3=O，E是與A同階的單位矩陣，則（ ?）.

A.E-A不可逆，E+A可逆

B.E-A不可逆，E+A不可逆

C.E-A可逆，E+A可逆

D.E-A可逆，E+A不可逆

解 取三階位移矩陣A=010

001

000，顯然A≠O，而A3=O.

由于E-A=1-10

01-1

001及E+A=110

011

001顯然均可逆，則A，B，D均不正確.

故應選C.

例19 已知矩陣A=12

21，則在實數域上與A合同的矩陣為（ ?）.

A.-21

1-2B. 2-1

-12

C.21

12D.1-2

-21

解 （兩個實對稱矩陣合同的充要條件是它們的正、負特征值的個數要對應相同）

由于A=-3<0，則A恰有正、負特征值各一個，而

-21

1-2=3>0，2-1

-12=3>0，21

12=3>0， 因此A，B，C均不正確.

故應選D.

例20 實二次型f（x1，x2，x3）=2x21+x22-4x23-4x1x2-2x2x3的標準形為（ ?）.

A.2y21-y22-3y23B.-2y21-y22-3y23

C.-2y21+y22D.2y21+y22+3y23

解 由于f（0，0，1）=-4<0，則D不正確;由于f（1，0，0）=2>0，則B不正確;又由于r（A）=3，則C不正確.故應選A.

小 結

通過以上所舉的例子我們可以清楚地看出，在解答考研數學中的選擇題時，若恰當運用排除法，則可以達到事半功倍的效果.

【參考文獻】

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