聚類分析中類與類的特征

李曉云 周菊玲 李超群

【摘要】本文基于聚類分析在多元統計分析中的重要作用，介紹聚類分析的定義，并在聚類分析的基礎上詳細給出了類的幾個定義，并且討論了類的幾個特征及其內在關系.并用圖解的方式及解析的方式導出類與類之間的距離，從而為進一步的聚類分析做好基礎.

【關鍵詞】聚類分析;類;類的特征;類間距離

一、引 言

聚類分析是研究如何將一組樣品（對象、指標、屬性等） 進行分類的方法.分類是人們深入認識事物的一個重要方法.

本文將在聚類分析的基礎上詳細探討類和類的特征.

二、類和類的特征

1.類的定義

我們的目的是聚類，那么什么叫作類呢？由于客觀事物的千差萬別，在不同問題中類的含義是不盡相同的.因此，企圖給類下一個嚴格的定義，絕非一件易事.下面給出類的幾個定義，不同定義，適用于不同場合.

用G表示類，設G中有k個元素，這些元素用i，j表示：

定義1：T為一個給定的閾值，如果對于每一個i，j∈G，有dij≤T（dij為i和j的距離），則稱G為一個類.

定義2：對閾值T，如果對于每個i∈G，有1k-1∑j∈Gdij≤T，則稱G為一個類.

定義3：對閾值T，V，如果1k（k-1）∑i∈G∑j∈Gdij≤T，dij≤V，對一切i，j∈G，則稱G為一個類.

定義4：對閾值T，若對于任意一個i∈G，一定存在j∈G，使得dij≤T，則稱G為一個類.

由此可見，定義1的要求是最高的，凡屬于它的類，一定也是后三種定義的類.此外，凡符合定義2的類，也一定是定義3的類.

2.類的特征

現在，類G的元素用x1，…，xm表示，m為G內的樣本數（或指標數），可以從不同角度來刻畫G的特征，常用的特征有：

1.均值x-G（或稱為G的重心）： x-G=1m∑mi=1xi

2.樣本散布陣及協方差陣：

SG=∑mi=1（xi-x-G）（xi-x-G）′，∑G=1n-1SG

3.G的直徑.此處給出兩種定義.

（a）DG=∑mi=1（xi-x-G）′（xi-x-G）=tr（SG）

證明：由定義知：SG=∑mi=1（xi-x-G）（xi-x-G）′，其中：

SG=∑（xi1-x-1）2∑（xi1-x-1）（xi2-x-2）…∑（xi1-x-1）（xip-x-p）

∑（xi2-x-2）（xi1-x-1）∑（xi2-x-2）2…∑（xi2-x-2）（xip-x-p）

…………

∑（xip-x-p）（xi1-x-1）∑（xip-x-p）（xi2-x-2）…∑（xip-x-p）2 ?又知，

（xi-x-G）′（xi-x-G）=（xi1-x-1）2+（xi2-x-2）2+…+（xip-x-p）2=tr（SG）

證畢.

此處，還將給出直徑的另一種定義：

（b）DG=maxi，j∈Gdij

3.類和類之間的距離

在聚類分析中，不僅要考慮各個類的特征，而且要計算類與類之間的距離.由于類的形狀是多種多樣的，所以，類與類之間的距離也有多種運算方法.另Gp和Gq中分別有k個和m個樣品，它們的重心分別是x-p和x-q，它們之間的距離用D（p，q）表示.下列是幾種常見的定義：

（1）最短距離法.

DK（p，q）=mindjlj∈Gp，l∈Gq

它等于類Gp與類Gq中臨近的兩個樣品的距離，如圖所示：

類間距離示意圖 類群距離DK（p，q）=d23

（2）最長距離法.

DK（p，q）=maxdjlj∈Gp，l∈Gq

（3）類平均法.

DK（p，q）=1LK∑i∈Gp∑j∈Gqdij

它等于類Gp與類Gq中任兩個樣品的距離的平均，式中的和分別為類和類中的樣品數.

（4）重心法.

Dc（p，q）=dx-px-q，它等于兩個重心x-p與x-q間的距離.

（5）離差平方和法.

若采用直徑的第一種定義方法，用Dp，Dq分別表示類Gp與類Gq的直徑，用Dp+q表示大類Gp+q的直徑，則有

Dp=∑i∈Gp（xi-x-p）′（xi-x-p），Dq=∑j∈Gp（xj-x-q）′（xj-x-q），

Dp+q=∑j∈Gp∪Gq（xj-x-）′（xj-x-），

其中x-=1k+l∑i∈Gp∪Gqxi.

用離差平方和法定義類Gp與類Gq之間的距離的平方為：D2w（p，q）=Dp+q-Dp-Dq，如果樣品間的距離采用歐氏距離，則有

Dp+q=klk+lD2c（p+q），以下將給出具體證明.

證明：由定義Dp+q=∑j∈Gp∪Gq（xj-x-）′（xj-x-） =Dp+∑j∈Gq（xj-x-p）′（xj-x-p）+2∑j∈Gp∪Gq（x-p-x-）′（xj-x-p）+（k+l）（x-p-x-）′（x-p-x-）

而：∑j∈Gq（xj-x-p）′（xj-x-p）=Dq+k（x-p-x-q）′（x-p-x-q）Dp+q=Dp+Dq+k（x-p-x-p）′（x-p-x-p）_k2k+l（x-p-x-p）′（x-p-x-p）

=Dp+Dq+klk+l（x-p-x-p）′（x-p-x-p）

又知：D2w（p，q）=Dp+q-Dp-Dq，如果樣品間的距離采用歐氏距離，則：D2w（p，q）=klk+lD2c（p，q） .

這說明，離差平方和法定義的距離與重心法定義的距離只相差一個常數，而這個常數與兩類樣品的個數有關.

結語：本文主要討論了類的四種定義及三個重要特征，并給出了五種類與類之間距離的計算方法，了解這些之后，可為后續經典聚類分析和模糊聚類分析奠定基礎.

【參考文獻】

[1]何曉群.多元統計分析[M].北京：中國人民大學出版社，2004.

[2]方開泰.實用多元統計分析[M].上海：華東師范大學出版社，1989.

[3]包研科.數據分析教程[M].北京：清華大學出版社，2011.

[4]莊恒揚.模糊聚類計算方法的理論分析[J].江蘇農學院學報，1998（19）.

[5]何清.模糊聚類分析理論與應用研究進展[J].模糊系統與數學，1998（2）.