一道積分不等式的證明和改進

朱樹海

【摘要】本文通過考察一道積分不等式的幾何意義，給出該不等式的多種證明，并以此為基礎，弱化不等式的條件，提出了更具有廣泛應用的兩個積分不等式.

【關鍵詞】積分不等式;連續;單調遞減函數

積分理論是微積分學的一個重要內容，積分不等式的證明是常見問題，它在高等數學中起到重要的作用，在數學分析、概率論和泛函分析中都有所涉及，這就使得積分不等式的問題顯得尤為重要.積分不等式的學習對培養數學思維、邏輯思維能力起著非常重要的用.積分不等式的證明同大多數高難度數學問題一樣，沒有固定的模式，證法因題而異，靈活多變，技巧性強，因此在學生學習過程中經常難以把握證明的思想方法.本文就一道常見的積分不等式分析如下：

積分不等式 設f（x）在[0，1]上連續且單調遞減，對α∈（0，1），則有

∫α0f（x）dx≥α∫10f（x）dx.

給出幾種證明方法，并以此為基礎，弱化不等式的條件，提出了更具有廣泛應用的兩個積分不等式.

一、積分不等式的證明

1.利用積分換元

由于f（x）在[0，1]上連續，故令x=αt，則

∫α0f（x）dx=∫10f（αt）d（αt）=α∫10f（αx）dx.

又因為f（x）在[0，1]上單調遞減，且0<α<1，故f（αx）≥f（x），所以

∫10f（αx）dx≥∫10f（x）dx.

因此

∫α0f（x）dx=α∫10f（αx）dx≥α∫10f（x）dx.

2.利用函數單調性

構造輔助函數

F（α）=1α∫α0f（x）dx，α∈（0，1）.

由于f（x）在[0，1]上連續，因此∫α0f（x）dx關于α可導，故

F′（α）=f（α）α-∫α0f（x）dxα2=∫α0f（α）dx-∫α0f（x）dxα2.

又因為f（x）在[0，α]上單調遞減，故f（α）≤f（x）（x∈[0，α]），因此

∫α0f（α）dx≤∫α0f（x）dx.

所以

F′（α）≤0，α∈（0，1）.

故F（α）在（0，1）單調遞減，并且可擴展到在（0，1]上單調遞減，所以F（α）≥F（1）.

因此

1α∫α0f（x）dx≥∫10f（x）dx.

即

∫α0f（x）dx≥α∫10f（x）dx.

3.利用二重積分

將積分不等式兩邊轉化為二重積分

∫α0f（x）dx=∫10dy∫α0f（x）dx=D0f（x）dxdy+D1f（x）dxdy，

α∫10f（x）dx=∫α0dy∫10f（x）dx=D0f（x）dxdy+D2f（x）dxdy.

其中各積分區域如圖所示：

D0=[0，α]×[0，α]，

D1=[0，α]×[α，1]，

D2=[α，1]×[0，α].

又由于f（x）在[0，1]上單調遞減，故在D1內，有

f（x）≥f（α）;

在D2內，有

f（x）≤f（α）.

而易知區域D1和D2的面積相等，因此

D1f（x）dxdy≥D1f（α）dxdy=D2f（α）dxdy≥D2f（x）dxdy.

綜上可知原不等式成立.

二、不等式的改進

由以上證明過程可見，可以將限定區間[0，1]進行適當修改，使得積分不等式更具有應用性.

定理1 設f（x）在[0，M]上連續且單調遞減，對α，β∈（0，M），若α≤β，則有

β∫α0f（x）dx≥α∫β0f（x）dx.

Remark：該定理中的積分不等式形式對稱，幾何意義明顯，可仿造上述方法證明，只需將1變成β即可.當然還有很多證明方法，詳見文獻[2].

從定理1和定理2的證明中可看出，函數f（x）連續這一條件至關重要，上述證明方法都是建立在這一條件的基礎之上，這也勢必使得該積分不等式的應用受到一定的限制.我們自然會考慮是否可以將上述積分不等式中函數f（x）連續去掉，弱化條件，使不等式的應用更具廣泛性？研究發現是可行的，我們可以得到如下結論：

定理2 設f（x）在[0，M]上單調遞減，對α，β∈（0，M），若α≤β，則有

β∫α0f（x）dx≥α∫β0f（x）dx.

證明 由于f（x）在[0，M]上單調遞減，故對α，β∈（0，M），積分∫α0f（x）dx和∫β0f（x）dx存在.由于

∫β0f（x）dx=∫α0f（x）dx+∫βαf（x）dx，

故只需證

β∫α0f（x）dx≥α∫α0f（x）dx+α∫βαf（x）dx.

即

（β-α）∫α0f（x）dx≥α∫βαf（x）dx.

由于f（x）在[0，M]上單調遞減，故

當x∈[0，α]，f（x）≥f（α），

當x∈[α，β]，f（x）≤f（α），

所以

（β-α）∫α0f（x）dx≥（β-α）∫α0f（α）dx=α（β-α）f（α），

α∫βαf（x）dx≤α∫βαf（α）dx=α（β-α）f（α）.

因此

（β-α）∫α0f（x）dx≥α（β-α）f（α）≥α∫βαf（x）dx.

由上述分析可知，原不等式成立.

【參考文獻】

[1]邵劍，李大侃.微積分專題梳理與解讀[M].上海：同濟大學出版社，2011：145.

[2]馬德炎.抽象與具體函數積分不等式的證明[J].高等數學研究，2003（4）：37-40.