以正方體為載體例談轉化與化歸思想在立體幾何中的應用

馮小紅

【摘要】立體幾何中最重要、最常用的思想就是轉化與化歸思想.其基本思路是通過對空間圖形的觀察、分析、聯想使其轉化為易求的問題.常見的類型有：復雜問題簡單化，抽象問題具體化，立體圖形平面化，陌生問題熟悉化，一般問題特殊化等.下面試舉例說明.

【關鍵詞】立體幾何;正方體

一、復雜問題簡單化

例1 如圖1，已知ABCD—A1B1C1D1是棱長為a的正方體，E，F分別為

棱AA1與CC1的中點，求四棱錐A1-EBFD1的體積.

圖 1

略解 ∵VF-A1D1E=13S△A1ED1·a=13·14a2·a=a312，VF-A1EB=13S△A1EB·a=13·14a2·a=a312，∴VA1-EBFD1=VF-A1D1E+VF-A1EB=a36.

注意提示 如果直接利用棱錐體積公式計算，將是困難的，但將其轉化為兩個三棱錐之和，就變得簡單易解.

二、抽象問題具體化

例2 如圖2，四個互相平行的平面，相鄰兩個平面間的距離為h，若一個正四面體的四個頂點分別在這四個平面上，求該正四面體的棱長.

圖2（1） ?圖2（2）

略解 將正四面體置于正方體BH中，截面BEF，DHG是四個互相平行的平面中間的兩個，容易證得，F，G分別是正方體棱AH，CE的中點，點A到EF的距離為h.

設AE=a，則AF=a2，EF=52a，由EF·h=AF·AE得，a=5h，∴AC=2a=10h.

注意提示 本題解決的問題很抽象，不易直接建立運算關系，若將之置于正方體內考察，問題就十分明朗化了.因此與正四面體有關的問題，常常可轉化為與正方體相關的問題來解決.

變式訓練：

1.已知棱長為a的正四面體內有一與各棱都相切的球，求球的表面積、體積.

提示：以正方體為載體，轉化為正方體內切球，則正四面體的棱長a就是正方體的面對角線長，易得球半徑為64a，故表面積S=3πa22，體積V=68πa3.

2.過球O表面上任意一點P作球的兩兩垂直的三條弦PA，PB，PC，且PA=PB=PC=a，求球O的半徑.

提示：以正方體為載體，轉化為正方體外接球，正方體的體對角線長就是球O的直徑，易得球半徑為32a.

三、立體圖形平面化

例3 將正方體（如圖①所示）截取兩個三棱錐，得到圖②所示的幾何體，則該幾何體的左視圖為（ ?）.

圖① ?圖②

答案 B.

略解 左視圖實線為AD1的投影線，虛線為B1D的投影線.

注意提示 根據空間幾何體的結構特征畫出三視圖，或根據三視圖還原幾何體，從而求其表面積及體積，實現空間圖形與平面圖形的轉化.它一直是新課標高考命題的

重點.本題易錯點特別提示：左視圖的寬是幾何體底面的寬度，而不是某個側面平面圖形的寬;另外左視圖是從幾何體的左側向右側投影，不能看錯方向.

四、陌生問題熟悉化

例4 若兩條異面直線稱為“一對”，則在正方體的八個頂點間的所有連線中，成異面直線的共有多少對？

分析 如果以其中一條棱進行分類討論，很難避免不重不漏，因而將其分解成以下兩個熟悉的問題.

①以正方體的八個頂點為頂點的三棱錐有多少個？

②若兩條異面直線稱為“一對”，任一三棱錐中有多少對異面直線？

略解 ①因為正方體有6個表面，6個對角面，因此答案是

C48-12=58 對.

②的答案是 3對.

本題的答案是58×3=174對.

注意提示 直接尋找異面直線的對數很繁且易重易漏.引入三棱錐，通過計算三棱錐的個數，使得三棱錐的個數與異面直線的對數建立一種對應關系，從而將陌生問題轉化為熟悉的問題.