關于圓錐曲線焦點弦的幾個定值

戴玲玲

【摘要】圓錐曲線的焦點弦是指經過圓錐曲線焦點的弦，筆者在教學中歸納出與其有關的幾個定值，有助于進一步加深對圓錐曲線性質的認識.

【關鍵詞】圓錐;曲線

1.（1）若AB為橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）的一條焦點弦，F為焦點，則1|AF|+1|BF|=2ab2（定值）;

（2）若AB為雙曲線x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的一條焦點弦，F為焦點，則 1|AF|+1|BF|=2ab2（定值）;

（3）若AB為 拋 物 線y2=2px（p>0）的一條 焦 點 弦，F為焦點，則1|AF|+1|BF|=2p （定值）.

圖 1證明：（1）如圖1，不妨設F為右焦點，|AF|=m，|BF|=n，m

|BR|=|BB1|-|AA 1|=ne-me.

△ABR中，|FH||BR|=|AF||AB| ，

∴a2c-c-mene-me=mm+n.

將e=ca代入化簡得1m+1n=2ab2.

m>n時，同理可證.

m=n時，將x=c代入橢圓得：m=n=|y|=b2a，

∴1m+1n=ab2+ab2=2ab2.

總之，1m+1n=2ab2，即1|AF|+1|BF|=2ab2（定值）.

（2）方法同上，證明略.

（3）方法同上，證明略.

2.（1）若AB，CD為橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）中過同一焦點F且互相垂直的兩條弦，則1|AB|+1|CD|=a2+b22ab2（定值）;

（2）若AB，CD為雙曲線x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）中過同一焦點F且互相垂直的兩條弦，則1|AB|+1|CD|=a2-b22ab2 （定值）;

（3）若AB，CD為過拋物線y2=2px（p>0）焦點F且互相垂直的兩條弦，則 1|AB|+1|CD|=12p（定值）.

圖 2證明：（1）如圖2，不妨設F為右焦點，A（x1，y1），B（x2，y2），直線AB方程為y=k（x-c），則直線CD方程為y=-1k（x-c），將直線AB方程代入橢圓化簡得：（b2+a2k2）x2-2a2k2cx+a2k2c2-a2b2=0，∴x1+x2=2a2k2ca2k2+b2，x1x2=a2k2c2-a2b2a2k2+b2.①

由橢圓焦半徑公式知|AF|=a-ex1，|BF|=a-ex2，

∴|AB|=|AF|+|BF|=（a-ex1）+（a-ex2）=2a-e（x1+x2）

=2a-ca2a2k2ca2k2+b2=2a1-k2c2a2k2+b2

=2aa2k2+b2-k2（a2-b2）a2k2+b2=2a（k2+1）b2a2k2+b2.

∴1|AB|=12a a2k2+b2（k2+1）b2.

令k=-1k，則1|CD|=12a a2+k2b2（k2+1）b2.

∴1|AB|+1|CD|=12aa2k2+b2（k2+1）b2+a2+k2b2（k2+1）b2=a2+b22ab2.

當直線AB的斜率k不存在時，將x=c代入橢圓得：|y|=b2a，|AB|=2|y|=2b2a，|CD|=2a，

則1|AB|+1|CD|=a2b2+12a=a2+b22ab2.

當直線AB的斜率k=0時，同理可證.

總之，1|AB|+1|CD|=a2+b22ab2

（2）方法同上，證明略.

（3）方法同上，證明略.