一道習題的探究與拓展

張燕華

1.問題提出

直線l過點P（2，1），且分別交x軸、y軸的正半軸于點A，B，O為坐標原點.當|PA|·|PB|取最小值時，求直線l的方程.

方法1 由題意可知，直線斜率存在且k<0，設l：y-1=k（x-2）（k<0），則A（2-1k，0），B（0，1-2k），∴|PA|·|PB|=1k2+1·4+4k2=2k2+1k2+2≥22+2=4，當且僅當k2=1k2即k=-1時等號成立.所以直線l：x+y-3=0.此時OA=OB.

方法2 設直線的參數方程為x=2+tcosα

y=1+tsinα（t為參數，α為傾斜角，α∈（π2，π）），代入坐標軸方程xy=0，（1+tsinα）·（2+tcosα）=0，

化簡得：t2sinα·cosα+（2sinα+cosα）t+2=0.

設直線l上的點A，B所對應的參數值分別為t1，t2，

則|PA|·|PB|=|t1|·t2=2sinα·cosα=4sin2α≥4，此時α=3π4，即OA=OB.

2.問題歸結

分析 當|PA|·|PB|取最小值時有OA=OB，這是一種偶然巧合還是一種必然的結果呢？答案是肯定的.因此有：

定理1 直線l過點P（x0，y0）（x0>0，y0>0），且分別交x軸、y軸的正半軸于點A，B，O為坐標原點.當|PA|·|PB|取最小值時，有OA=OB.

定理1的證明與上述“問題提出”的證明相同，感興趣的讀者可試證一下.

3.問題推廣

定理2 已知∠M為定角，A，B分別在∠M的兩邊上，AB經過定點P（P在∠AMB內），當|PA|·|PB|取最小值時，MA=MB.

證明 如圖，建立直角坐標系，設∠M=β，則直線MB：y=x·tanβ.

設直線AB的參數方程為x=x0+tcosα

y=y0+tsinα（t為參數，α為傾斜角）.

設點A，B所對應的參數值分別為t1，t2，分別代入y=x·tanβ與y=0，得：t1=y0-x0·tanβtanβ·cosα-sinα，t2=-y0sinα.

則|PA|·|PB|=|t1|·|t2|=y0-x0·tanβtanβ·cosα-sinα·y0sinα.

令u=（tanβ·cosα-sinα）·sinα=12（tanβsin2α+cos2α）-12

=12cosβ（sinβsin2α+cosβcos2α）-12=12cosβ·cos（β-2α）-12.

又因為0<β<α<π，

所以-2π<β-2α<0.

所以β-2α=-π，即α=π+β2.

此時∠MAB=∠MBA=π2-β2，即MA=MB.

4.問題變形

定理3 已知AB=a（a為定值），端點A，B分別在x軸和y軸上滑動，則當OA=OB時，△OAB面積最大.

證明 設OA=x，OB=y，則x2+y2=a2.

又S=12x·y≤12·x2+y22=a24，當且僅當OA=OB時取得最大值.

定理4 已知∠M為定角，A，B分別在∠M的兩邊上，AB=a（a為定值），當MA=MB時，△MAB面積最大.

證明 設∠M=α，MA=x，MB=y，則a2=x2+y2-2xycosα≥2xy-2xycosα，

∴xy≤a22（1-cosα），

S=12x·y≤12·a22（1-cosα）=a24（1-cosα），

當且僅當MA=MB時取得最大值.