高中數學平面向量問題處理的策略

何靜

“學生的學習方法與教師的教學方法密切相關，正確的教學方法能啟發學生的求知欲，調動學生的學習積極性，為智力活動創造有利條件.”因此為了確保教育教學的高效，在高三復習教學過程中，教師應努力鉆研教法和學法，以幫助學生能夠從題海中跳出來.平面向量是高中數學中一塊重要的內容，它也是數形結合的重要載體.在高中數學必修4的課本中，向量是這樣定義的：既有大小又有方向的量.從定義中來看向量就兼具有數量與圖形的特征，這也就為解決向量問題提供了方法和依據.一方面，向量可以用有向線段來表示，這是進行向量線性運算（幾何運算）的基礎;另一方面，根據平面向量基本定理可知平面內的任意一個向量都可以表示為其他兩個不共線向量的線性組合，這是向量坐標運算（代數運算）的基礎.因此，正確處理向量問題應從數（坐標運算）和形（線性運算）兩個角度切入思考.

在高三復習教學的過程中，教師應站在新的高度把握向量的教學，這就要求教師應熟悉高考考試要求.《高考數學科考試說明》對知識的考查要求依次分為了解、理解、掌握三個層次（在下表中分別用A，B，C表示），其中：

了解：要求對所列知識的含義有最基本的認識，并能解決相關的簡單問題;

理解：要求對所列知識有較深刻的認識，并能解決有一定綜合性的問題;

掌握：要求系統地掌握知識的內在聯系，并能解決綜合性較強的或較為困難的問題.

從表中可以看出，教師在高三復習教學時沒有必要盲目挖深，當然也不能要求過低.而應根據學生的能力水平，以教科書為基礎，緊扣考試說明，精心選題，以達到良好的教學效果，下面以具體的實例進行說明.

例1 如圖，OM∥AB，點P在由射線OM、線段OB及AB的延長線圍成的區域內（不含邊界）運動，且OP=xOA+yOB，則x的取值范圍是;當x=-12時，y的取值范圍是.

解 由向量加法的平行四邊形法則，OP為平行四邊形的對角線，該四邊形應是以OB和OA的反向延長線為兩鄰邊，∴x的取值范圍是（-∞，0）.

當x=-12時，要使P點落在指定區域內，即P點應落在線段DE（不含端點）上，CD=12OB，CE=32OB，∴y的取值范圍是12，32.故答案為：-∞，0，12，32.

評析 本題以平面向量基本定理為背景主要考查了平面向量的加法運算，本題的難點是要求學生能夠理清平面中點P與平面的一組基底OA，OB的相對位置關系，需要學生有一定的分析和綜合能力.

例2 如圖，在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AD=DC=1，AB=3，動點P在△BCD內運動（含邊界），設AP=αAB+βAD（α，β∈R），則α+β的取值范圍是.

解 以A為原點，AB為x軸，AD為y軸建立如圖所示的平面直角坐標系，設P（x，y），

則（x，y）=α（3，0）+β（0，1），∴α=x3，β=y.

∴Z=α+β=x3+y，即Z表示直線y=-x3+Z的縱截距.

∵B（3，0），D（0，1），C（1，1），∴DB的方程為x3+y=1，BC的方程為x+2y-3=0.

根據圖像，

可得Z=x3+y在DB邊取得最小值1，在點C處取得最大值43，∴α+β的取值范圍是1，43.

評析 平面向量的坐標運算的引入為向量提供了新的語言——“坐標語言”，其實質是“形”轉化為“數”.解決平面向量坐標運算的關鍵是熟練掌握坐標運算的法則，并注意向量運算的幾何意義，其本質是根據相等的向量坐標相同這一原理解題.本題將向量與不等式（線性規劃）巧妙地結合在一起，這就提醒一線教師在復習鞏固相關的平面向量知識時，既要注重回顧和梳理基礎知識，又要注意平面向量與其他知識的綜合運用，滲透用向量解決問題的思想方法，從而提高分析問題與綜合運用知識解決問題的能力，站在新的高度來認識和理解向量.

上面的兩個例題展示了處理向量問題的兩個常規方法：①利用平面向量基本定理線性運算（形）;②建立直角坐標系坐標運算（數）.這兩個例題的切入口比較單一，前者從線性運算入手，后者從坐標運算入手.因此，解決向量問題時只需從這兩個角度入手，往往就能獲得成功.