一般化策略在高中數學解題中的應用

張安文

在解決數學問題時，一般來說，特殊情況很容易被人們接受，然而我們有時也會遇到一些比較復雜或聯系不明顯的特殊數學問題，它并不能將一般性的特性反映出來，這時我們就需要把原問題的范圍擴大，要設法把特殊問題一般化，找出一個能揭示原問題基本特性的問題，進而解決原特殊問題，這種一般化方法解題策略經常會帶來意想不到的效果.

一、一般化策略在求值中的應用

例1 已知：cosα+cosβ-cos（α+β）=32，α，β∈0，π2，求α，β.

解析 將條件等式整理為：

sinαsinβ+cosα（1-cosβ）+cosβ-32=0，由此可知直線x（1-cosβ）+ysinβ+cosβ-32=0與單位圓x2+y2=1有交點 （cosα，sinα），于是運用原點到直線的距離公式解決該問題.

解 d=cosβ-32sin2β+（1-cosβ）2≤1，整理得cos2β-cosβ+14≤0，cosβ-122≤0，∴cosβ=12.

又∵β∈0，π2，

∴β=π3，同理α=π3.

二、一般化策略在不等式中的應用

例2 已知：a，b∈R，且eba.

解析 要證ab>ba，只需證明 blna >alnb，即lnaa>lnbb，考察一般化，用一個變數代替了給定的常數x，將問題納入到考察函數f（x）=lnxx，x∈（e，+∞）的單調性，這樣，就便于用函數的工具來加以研究，從而證明了該問題.

證明 令f（x）=lnxx，x ∈（e，+∞）.

∵f′（x）=1-lnxx2<0，

∴函數f（x）=lnxx在（e，+∞）上是單調遞減函數.

又∵e<a<b，

∴f（a）<f（b），即lnaa>lnbb.

∴ab>ba.

三、一般化策略在函數中的應用

例3 設f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數，且對任意的a，b∈[-1，1]，當a+b≠0時，都有f（a）+f（b）a+b >0，解不等式fx-12<fx-14.

解析 解抽象函數不等式，要設法將它轉化為顯性的不等式求解.這就需要具備兩個條件：一、要把不等式轉化為f（□）>f（△） 的形式;二、要判斷函數的單調性，再根據函數的單調性，把抽象函數不等式的符號 “f”去掉，得到具體不等式求解.

解 先證明函數的單調性.

任取x1，x2∈[-1，1].

當x1<x2時，f（x1）-f（x2）=f（x1）+f（-x2）=f（x1）-f（x2）x1+（-x2）（x1-x2）<0，

∴y=f（x）在-1，1上是單調遞增函數，原不等式等價于-1≤x-12≤1，

-1≤x-14≤1，

x-12<x-14，

解得-12≤x≤54.

四、一般化策略在方程中的應用

例4 設一元二次方程7x2-（k+13）x-k-2=0的兩根x1，x2，0

解析 有些學生從條件0

0<x1x2<2的錯誤，然后利用一元二次方程根與系數的關系求k的范圍.如果將問題置于函數之中進行動態分析，我們不難發現，借助于運動的二次函數的圖像與軸交點的坐標，即可確定k的范圍.

解 設 f（x）= 7x2-（k+13）x-k-2，則

f（0）>0，

f（1）<0，

f（2） >0，

即k2-k-2>0，

k2-2k-8﹤0，

k2-3k>0，

解得-2

∴k∈（-2，-1）∪ （3，4）.

通過以上例題的求解我們知道一般化方法實際上就是想方設法構造一個與原問題形式一致，且容易解決的一般性問題，即尋求處理問題的一般特例，在一般情形的處理下探索解決原問題的方案，但在構造一般性問題時，需要進行分析觀察原問題的形式包括原問題的基本特征，并將它們歸納整理成具有規律性的一般問題，構造出一個對解決原問題具有引路作用的一般問題，順利地解出原題.因此，在高中數學教學中，教師要積極引導學生，有意識地對學生進行一般化思想培養方法的培養，這樣，既培養了學生的思維能力，增強了對本質問題的認識，又激發了學生的學習興趣.