導數案例易錯題剖析

劉彬

【摘要】導數是近代數學的重要基礎，是聯系初、高等數學的紐帶，它的引入為解決中學數學

問題提供了新的視野，是研究函數問題的有力工具，也是今后學習高等數學的基礎.

本文擬對學生在學習導數中常見的錯誤進行歸類和做簡單的剖析，以便廣大教師在

教學過程中有的放矢，激發學生學習數學的興趣和提高教學質量.

【關鍵詞】定義式;切線方程;極值;單調性

導數是近幾年江蘇高考命題的熱點內容.導數在求函數的單調性、極值、最值以及求曲線的切線斜率等方面，有著廣泛的應用，但學生在實際應用時常會陷入誤區.本文從例題入手，對導數應用常見的錯解進行分類剖析，以期拋磚引玉.

易錯點1 對導數定義式的理解不到位

例1 函數f（x）在點x0處的導數是f′（x0）=a，則limΔx→0f（x0-Δx）-f（x0）Δx=.

錯解 由導數的定義知：

f′（x0）=limΔx→0f（x0-Δx）-f（x0）Δx=a.

剖析 防錯的關鍵是認清導數定義中Δx的形式是多樣的.

正解 limΔx→0f（x0+Δx）-f（x0）Δx=f′（x0）

=limΔx→0f（x0-Δx）-f（x0）-Δx=-a，

從而答案是-a.

點評 在導數的定義中，增量Δx的形式是多樣化的，但無論如何變化，其實質是分子中x的增量與分母中x的增量必須是一致的，否則必須經過一些適當的變形使之一致.

小試牛刀 已知函數f（x）在點x0處的導數是f′（x0）=a，

則limΔx→0f（x0+Δx）-f（x0-Δx）Δx=.（參考答案：2a）

易錯點2 混淆導函數與函數在某點處的導數

例2 已知函數f（x）=-13x3+x2-2f′（1）x，求f′（x）.

錯解 f′（x）=-x2+2x-2f′（1）.

剖析 本錯誤解法忽視了f′（1）是一個可以求得的定值.

正解 ∵f′（x）=-x2+2x-2f′（1），∴f′（1）=-1+2-2f′（1），∴f′（1）=13.

點評 f′（1）=y′|x=1是一個定值，故[f′（1）·x]′=f′（1）.再給導函數中的x賦值，即可求出f′（1）的值.

小試牛刀 已知函數f（x）的導函數為f′（x），且滿足f（x）=3x2+2xf′（2），

則f′（5）=.（參考答案：6）

易錯點3 求曲線過某點的切線方程時不注意區分點是否在曲線上

例3 已知曲線f（x）=x3-3x，過點A（0，16）作它的切線，求此切線方程.

錯解 根據導數的幾何意義可知，曲線的切線斜率k=f′（0）=-3，所以曲線的切線方程為y=-3x+16.

剖析 本題錯在對導數的幾何意義理解有誤，切線的斜率k應是在切點處的導數，而點A（0，16）不在曲線上.故本題應先設切點，再求斜率，最后寫出直線的方程.

正解 設切點坐標M（x0，x30-3x0），則切線的斜率k=f′（x0）=3x20-3，切線方程為y=（3x20-3）x-16，又因為點M在切線上，所以x30-3x0=3（x20-3）x0+16，解得x0=-2，∴切線方程為y=9x+16.

點評 一般地，應用導數的幾何意義求過一點的切線，無論已知點是不是切點均可以設出切點坐標，結合方程組求解.

小試牛刀 已知函數f（x）=x3+f′23x2-x，則函數f（x）的圖像在點23，f23處的切線方程是.（參考答案：27x+27y+4=0）

易錯點4 忽視函數有極值時的條件

例4 已知函數f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1處有極值10，求a+b的值.

錯解 由導數的極值知f′（1）=0

f（1）=10得a=4

b=-11或a=-3

b=3，所以a+b的值為-7

或者0.

剖析 錯解是沒有注意到f′（x0）=0是函數在這點處有極值的必要不充分條件.

正解 由導數的極值知f′（1）=0

f（1）=10得a=4

b=-11或a=-3

b=3.當a=-3

b=3時，f′（x）=3（x-1）2≥0恒成立，故x=1不是函數的極值點，此解舍去，所以a+b的值是-7.

點評 函數極值點的定義是：在這點的左右兩側函數的導數符號相反，而不僅僅是f′（x0）=0，所以，由極值算參數范圍或者參數值時，要注意檢驗導數在這點左右兩側的符號是否相反.

小試牛刀 已知函數f（x）=ax3+bx2-3x（a，b∈R）在點x=-1處取得極大值為2，求函數f（x）的解析式.（參考答案：f（x）=x3-3x）

易錯點5 忽略函數單調性的充要條件

例5 已知函數f（x）=ax3+3x2-x+1在

R上是減函數，求a的取值范圍.

錯解 ∵f′（x）=3ax2+6x-1，∴f（x）在R上是減函數.

∴f′（x）<0在R上恒成立.

∴3ax2+6x-1<0對任意實數恒成立.∴Δ<0，a<0，即36+12a<0.∴a<-3.

剖析 此題中f（x）不是常值函數，故此函數f（x）在定義域上是單調遞減的充要條件是對任意實數f′（x）≤0.

正解 ∵f′（x）=3ax2+6x-1，∴f（x）在R上是減函數.∴f′（x）≤0在R上恒成立.∴Δ≤0且a<0.即36+12a≤0且a<0，∴a≤-3.

點評 應用導數研究函數的單調性求參數范圍時，若f（x）在區間I上不是常值函數，則函數f（x）在區間I上是增函數在區間I上，對任意的x，f′（x）≥0;f（x）在區間I上是減函數在區間I上，對任意的x，f′（x）≤0.

小試牛刀 已知函數f（x）=ln（2-x）+ax在開區間（0，1）內是增函數，則a的取值范圍是.（參考答案：a≥1）

綜上所述，要提高學生解題的正確率，除了要注意題中的隱含條件外，在教學中還要加深學生對基本概念的理解和對基本方法的掌握，并結合相關練習進行強化訓練，以期不再“物是人非眼迷離”.