回歸定義 重視源頭

仲崇林

水是有源的，樹是有根的.數學定義是解決數學問題的根，是解決數學問題的源.在一些問題的求解中，把握好這個根源，會起到意想不到的效果.利用定義解題，在教科書和高考試題中多有體現.本文僅舉幾例，以饗讀者.

一、利用圓錐曲線定義

例1 （人教版選修（2-1）49頁7題）如圖，

圓O的半徑為定長r，A是圓O內一個定點，

P是圓上任意一點，線段AP的垂直平分線l

和半徑OP相交于點Q，當點P在圓上運動

時，點Q的軌跡是什么？為什么？

解 ∵l是線段AP的垂直平分線

∴|QA|=|QP|

∴|QO|+|QA|=|QO|+|QP|=|OP|=r>|OA|.

由橢圓的定義得，點Q的軌跡是以

O，A為焦點的橢圓.

例2 （人教版選修（2-1）62頁5題）

如圖，圓O的半徑為定長r，A是

圓O外一個定點，P是圓上任意一點，

線段AP的垂直平分線l和直線OP相交

于點Q，當點P在圓上運動時，點Q的

軌跡是什么？為什么？

解 仿例1可得：點Q的軌跡是以O，A為焦點的雙曲線.

例3 （2009重慶卷）已知以原點O為中心的雙曲線的一條準線的方程為x=55，離心率e=5.

（1）求該雙曲線的方程;

（2）如圖，點A的坐標為（-5，0），B是圓

x2+（y-5）2=1上的點，點M在雙曲線

的右支上，求MA+MB的最小值，并求

此時M點的坐標.

解 （1）易得該雙曲線的方程為x2-y24=1.

（2）點A（-5，0）為該雙曲線的左焦點，右焦點為 A′（5，0）.

由雙曲線定義得：MA+MB=2+MA′+MB.

所以，當A′，M，B共線時，MA+MB最小.

圓x2+（y-5）2=1的圓心為C（0，5），連接A′C分別交圓和雙曲線于B，M點，則MA+MB=2+MA′+MB=1+A′C=1+10.

此時M點的坐標為42-53，45-423.

例4 （2009天津模擬）已知拋物線y2=ax（a>0），直線l過焦點F且與x軸不重合，則拋物線被l垂直平分的弦共有（ ?）.

A.不存在B.有且只有一條

C.2條 D.3條

解 設拋物線y2=ax（a>0）的焦點為F，

弦MN被直線l垂直平分.

過M，N分別作拋物線準線的

垂線，垂足分別為M1，N1.

∴MM1=MF

NN1=NF

MF=NFMM1=NN1MN∥M1N1.

因此直線MN和x軸垂直，直線l與x軸重合.這與已知l與x軸不重合矛盾.故選A.

二、利用導數定義

例5 （2010江西卷12）如圖，一個正

五角星薄片（其對稱軸與水面垂直）勻速

地升出水面，記t時刻五角星露出水面部分

面積為S（t）（S（0）=0）.則導函數y=S′（t）的圖

象大致為（ ?）.

解 由導數定義可知，函數f（x）在點x=x0處的導數值就是f（x）在點x=x0處的瞬時變化率.當第一個角逐漸露出水面時，S（t）在逐漸增大，且增長速度越來越快，故其瞬時變化率S′（t）也應逐漸增大，當第二部分開始露出水面時，此時的S（t）應突然增大，然后的增長速度越來越慢，但仍為增函數，故其瞬時變化率S′（t）也應突然增大，再逐漸變小，但S′（t）>0（故可排除B）;當五角星全部露出水面后，S（t）不再變化，故其導數值S′（t）最終應等于0.

答案 A

三、利用三角函數定義

例6 （2010安徽卷9）動點A（x，y）在圓x2+y2=1上繞坐標原點逆時針方向勻速旋轉，12秒旋轉一周.已知時間t=0時，點A的坐標是12，32，則當0≤t≤12時，動點A的坐標y關于t（單位：秒）的函數的單調遞增區間是（ ?）.

A.[0，1] B.[1，7]

C.[7，12]D.[0，1]和[7，12]

解 由三角函數的定義知，三角函數是用來描繪圓周運動的，所以可設y=sin（ωt+φ）.

由時間t=0時，點A的坐標是12，32，得φ=π3.

由點A在圓周上逆時針12秒旋轉一周，得ω=π6.

∴y=sinπ6t+π3.

當0≤t≤12時，函數y=sin（π6t+π3）的單調遞增區間為[0，1]和[7，12]，故選D.