知識結構對解題過程影響的一些嘗試

俞健 蘇擁英

本文為廣東省教育科學“十二五”規劃項目——“廣州市海珠實驗中學學期課程統整的實踐研究（2012YQJK063）”的子課題“課程統整理念下的初中幾何知識結構的研究與實踐”的部分研究成果

【摘要】知識點和知識結構是解題的源泉和基礎，解題過程是知識結構中知識點的體現和重組，兩者相輔相成.本文通過舉例的方式分析和說明了不同的知識結構對具體的解題過程有著不同的影響和作用，說明我們須掌握全面和多樣的知識結構，才能更好地促進解題活動.

【關鍵詞】知識結構;解題

在《中學數學解題的理論與實踐》一書論及平面結構原則時，提到在解題思路的探求時，要注意內容與方法的統一，在解題過程中，不僅要注意方法技巧的應用，而且要揭示數學內容的轉化，注意從內容的聯系上去尋找解題思路.

同時，提到如下的一道例題：

已知：a1-b2+b1-a2=1，求證：a2+b2=1.

該題有平方法、配方法、三角法和幾何法等多種解法，但是“切點重合”法卻能夠獨辟蹊徑，由“兩點重合”的知識鏈，立即解決問題，體現了不同的知識結構對解題的指導和影響.

數學知識不是孤立的單點或離散的片段，數學方法也不是個別無關的一招一式，它們血肉相連，組成一條一條的知識鏈，并組合為知識體系，并形成一定的知識結構.

其實，知識結構有多種定義.它既可以指某個人的，即指一個人經過專門學習培訓后所擁有的知識體系的構成情況與結合方式.它也可以指某學科教材的，就是由某些知識點組合成的知識集合及方式，它具有一定的結構或框架，可以由知識點、知識鏈或知識組等組合而成的，上題所論及的知識結構應該指的是后者.知識結構可以是串聯，也可為并聯，可以是環形，也可以是樹形，多種多樣，這是由具體的知識點和人為分析和組合而成的.同樣的知識點，可以根據人們不同的理解被組合成不同的知識結構.采取不同的知識結構來解題可能會對具體的解題活動有著不一樣的影響.

下面接著如上的思路，就知識結構對具體的解題過程的影響和作用進行一些嘗試.

例1 如圖1，設M和N分別是△ABC兩邊AB和AC的中點，證明：MN∥BC，且MN=BC2.

圖 1

我們的一般解法為：

證明 由題意知，由于M和N分別是△ABC兩邊AB和AC的中點，

得AM=12AB，AN=12AC，∠A=∠A，

所以△AMN∽△ABC.

可得：∠AMN=∠B.

由同位角相等，兩直線平行得MN∥BC.

再由相似比為12，得到MN=BC2.

分析 該證法運用了相似三角形的判定定理，再由相似三角形的性質和“兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么兩直線平行”這兩個知識點，證得此題.

我們也可嘗試使用其他證法：

證明 由于M和N分別是△ABC兩邊AB和AC的中點，故得S△MBC=S△ABC2=S△NBC.

由平行線的面積判定法得MN∥BC.

再由平行邊可構成相似三角形得到△AMN∽△ABC.

應用相似三角形對應邊成比例的性質得

MNBC=AMAB=12，故推出MN=BC2.

分析 本證法中運用了平行線的面積判定法直接得到結論之一，再由平行邊構成相似三角形的知識，得出兩個三角形相似，進而得到另一結論.本解法繞開了相似三角形的判定定理的知識鏈，采用了不同的知識結構，同樣可以證得本題.

例2 如圖2，AB∥PQ，直線PA和QB交于R，PB和QA交于S，PS和PQ交于M.若已知PQ=10，求PM.

圖 2

本題的常規解法為：

設PM為x，NB為y，則MQ為10-x.

根據AB∥PQ，可得△RNB∽△RMQ及△RAN∽△RPM，

進而得NBMQ=RNRM=ANPM，

可得AN=xy10-x.

再由△NBS∽△MPS及△NAS∽△MQS，

得ANQM=NSMS=NBMP.

即xy10-x10-x=yx，得x2=（10-x）2，可算得x=5.

分析 本解法假設了相應線段的未知量，并在圖中找尋了四組相似三角形，再通過這些相似三角形邊之間的比例關系，逐步過渡，求得PM的長度.

若運用另外的知識結構和工具也可以解決本題.

解 運用共邊定理以及由AB∥PQ得到S△PAB=S△QAB，可得

PMMQ=S△PRSS△QRS=S△PRSS△PSQ·S△PSQS△QRS

=RBBQ·PAAR=S△RABS△QAB·S△PABS△RAB

=1.

所以PM=MQ=PQ2=5.

分析 這里運用“共邊定理”的知識鏈條，通過多組三角形間面積相等的關系，轉化得到結果，展示了不同知識作為解題工具的魅力.

別以為這題簡單，它還曾是一道數學競賽問題.

例3 如圖3，設圓內兩弦AB和CD交于P，求證：PA·PB=PC·PD.

圖 3

我們一般的常規證法是：由對頂角相等及相同的弧所對的圓周角相等可知

∠BPC=∠DPC，∠CBP=∠ADP，∠PCB=∠PAD.

可得△PBC∽△PDA，

即得PBPD=PCPA，可得結論.

分析 本題證明方法使用了對頂角相等、等弧所對圓周角相等和相似三角形的判定定理等知識證得.

我們還可以使用共角定理來證明：

S△APDS△CPB=PA·ADPC·CB=PD·ADPB·CB，

約簡后即得PAPC=PDPB，

即PA·PB=PC·PD.

分析 本方法使用“共角三角形”知識的方法，不僅減少建立相似三角形判定法的推理過程和步驟，而且避免了辨別相似三角形對應邊的麻煩，所以，相對而言，本解法更為簡捷和高效.

知識點和知識結構是解題的源泉和基礎，解題過程是知識結構中知識點的體現和重組，兩者相輔相成.我們要做到解題過程的嚴謹和優美，應具備全面和多樣的知識結構，來促進和活躍解題思想，當然這也需要在解題過程中不斷地總結和積累知識點，完善知識結構.

【參考文獻】

[1]羅增儒.中學數學解題的理論與實踐[M].南寧：廣西教育出版社，2008.

[2]張景中.一線串通的初等數學[M].北京：科學出版社，2009.