“加糖不等式”的妙用

李英杰

新、老教材中，不等式的證明方法部分都有這樣一個不等式：

如果a>b>0，m>0，那么ba

例1 （人教版選修4-5，28頁例4）已知a，b是實數，求證：

|a+b|1+|a+b|≤|a|1+|a|+|b|1+|b|.

證明 ①當a，b同時為0時，原不等式顯然成立.

②當a，b不同時為0時，

由“加糖不等式”知：|a+b||a|+|b|≤|a+b|+1|a|+|b|+1.

即：|a+b||a+b|+1≤|a|+|b||a|+|b|+1

=|a|1+|a|+|b|+|b|1+|a|+|b|

≤|a|1+|a|+|b|1+|b|.

綜合①、②知，原不等式成立.

例2 已知△ABC的三邊長是a，b，c，且m為正數，求證：aa+m+bb+m>cc+m.

證明 ∵a+b>c>0，m>0，

由“加糖不等式”知：ca+b

所以有cc+m

例3 已知三角形三邊長分別為a，b，c.求證：aa+1，bb+1，cc+1也可以構成一個三角形.

解 在例2中，令m=1得：cc+1

同理可得：aa+1

所以aa+1，bb+1，cc+1也可以構成一個三角形.

例4 已知n∈N，n>1，試比較logn（n+1）與log（n+1）（n+2）的大小.

解 由“加糖不等式”知：

logn（n+1）=lg（n+1）lgn>lg（n+1）+lgn+2n+1lgn+lgn+2n+1=lg（n+2）lgn（n+2）n+1>lg（n+2）lgn（n+2）+1n+1=lg（n+2）lg（n+1）=log（n+1）（n+2）.

例5 設數列{bn}的通項公式為bn=3n-2，數列{an}的通項公式為an=log21+1bn，記Sn為數列{an}的前n項和，試比較Sn與13log2bn+1的大小.

解 由已知an=log2（1+13n-2）=log23n-13n-2，

Sn=log2（21·54·87·…·3n-13n-2），

13log2bn+1=log233n+1，

只需比較21·54·87·…·3n-13n-23與3n+1的大小.

由“加糖不等式”知：3n-13n-2>3n3n-1>3n+13n，

∴3n-13n-23>3n-13n-2·3n3n-1·3n+13n=3n+13n-2.

∴21·54·87·…·3n-13n-23>41·74·107·…·3n-23n-5·3n+13n-2=3n+1.

∴Sn>13log2bn+1.

例6 （2001全國理20）已知i、m、n是正整數，且1

（1）證明：niAim

（2）證明：（1+m）n>（1+n）m.

證明 （1）只需證AimAin

即證明m（m-1）（m-2）·…·（m-i+1）n（n-1）（n-2）…（n-i+1）

由“加糖不等式”知：m-i+1n-i+1<·…·

所以（）式成立，即niAim

（2）由（1）知niAim

∴miAinAii>niAimAii，即miCin>niCim.

∴C0n+mC1n+m2C2n+…+mmCmn>C0m+nC1m+n2C2m+…+nmCmm.

在上式左邊加上mm+1Cm+1n+mm+2Cm+2n+…+mnCnn，

則有： （1+m）n>（1+n）m.

高考命題的原則提到，知識要源于教材，又要高于教材.教學中，深入挖掘教材的潛在功能，對提高學生成績、培養學生的思維能力與鉆研精神都大有裨益.