求解函數極限的方法

肖柏文

【摘要】高等數學教學中，函數極限求值方法教學是難點，同時也是重點.而且，數學函數極限知識內容比較枯燥，會導致很多學生不愿意學習極限函數.文章分析了極限函數教學障礙，以及如何改進教學方法，提高教學質量.

【關鍵詞】極限函數;數學;求值方法

一、前 言

高等數學是理工學生和數學專業必修的課程之一，在高等數學中，函數極限知識是微積分知識核心部分.如果學生的函數知識不牢固，這樣必然會影響到整個數學學習過程.而且，極限函數不同于文史類知識，它們沒有生動的語言，沒有靈活的想象平臺，而是枯燥的函數極限知識，這直接影響學生對該類知識的學習，隨著時間的推移，學生無法提起學習興趣，從而影響到教學效果.

二、造成學生函數極限學習障礙和解決方法

（一）教學環境影響

高中數學是主科，在課程設置中一般都安排得比較密集，時常會出現一天都有數學課.面對應試，數學課程的學習時間是比較長的，教學力度也是相對大的.這樣的課程安排會使得學生倍感壓力.很多學生一天下來都是在數學的海洋中，各種知識的糾結，各種解題方法的求解.學生學習數學不是因為興趣愛好，而是為了應試，這樣的函數極限學習效率會低下.而進入大學，高數學習環境輕松，課程時間安排不太緊密.

（二）教學方法問題

很多教師在進行極限函數教學時，一般都是在課程之間時間講解概念含義，引入例子，再根據例子解答，然后課程布置學生幾道相關的題，讓學生嘗試解答，最后教師再講解.這樣的教學方法，教師占據的課程時間比較多，教師是課堂的主體，學生缺少思考的空間.有的學生基礎知識比較差，對于教師的講解理解難度大，教師沒有針對性地教學，沒有給學生思考的空間，沒有因材施教，必然會影響教學效果.

（三）解決高校學生函數極限學習障礙的對策

第一，教學方式上遵循教學規律.任何新知識的學習都要遵循循序漸進的過程，對大一新生來講，極限與微積分知識的學習，教師可采用漸進式教學，不求一步到位.用“動”來代替“靜”，也即用動態來定義極限的概念，用作圖的方式來理解“無限趨近”.教學盡量用多媒體課件展示動態，使學生在學習過程中逐步體會常量與變量、有限與無限、近似與準確、動與靜、直與曲的對立統一，這樣才能更好地培養學生學習能力，才能幫助學生養成良好的數學學習習慣，學生在今后的學習中可以使用辯證思考的思維解答習題.第二，教學方式直觀簡明化.函數極限學習理當堅持多學多練之原則，在練習過程中學生加強對數學概念的理解以及對知識的掌握.對于教師而言，應該精講多練，應該降低理論講解、抽象講解.理當拿出實例來證明極限.學生也可以嘗試作圖，使用作圖去輔助解答習題，從觀察函數的左右近似值去判斷極限是否存在.這樣的教學方法能夠鍛煉學生的歸納能力以及學生的推算能力.教師充分地考慮了學生接受能力，而且能夠兼顧教學需求，掌握該教學原則，從而幫助學生喜愛上數學學習.第三，教學中增加應用實踐因素.教學理論使用于實踐基礎上，讓理論在實踐中得以發揮出來，這樣的學習方式才會顯得比較有意義.學生的學習積極性和主動性才會跳動起來.一般而言，函數極限知識在生活中都能運用到，教師在進行教學時，涉及的內容應該通俗易懂.可以將生活中常見的機械極限、運動極限以及生理極限引入課程中，使用故事的方式作為開頭進行講解，這樣才能激發學生學習興趣.同時，在進行課程學習之前，進行預習和課外知識的拓展都是非常有必要的.學生課前預習，能夠對于所學的知識及時地進入到了解的狀態，這也是進行學生興趣培養之關鍵.

三、 高數中函數極限求解方法

（一）利用極限的描述性定義

在進行教學中，教師將極限的描述定義如下：如果自變量的絕對值|x|無限增大，那么在條件不變的情況下，函數值f（x）也會有和常數A無限地接近，這個時候就可以稱當x值逐漸趨向無窮函數時，x以A為函數極限.或者是x縮小到A，這樣就可以記錄為“x-A（x→∞）”.經過上述的描述方式進行函數期限數值求值時，該方法比較簡單.不同類型基礎的等級函數可以進行描述性定義.另外，還可以和圖像結合，這樣就可以得出參數值.想要進行復雜函數求值，需要在掌握基本初級函數求值基礎知識.但是在求值過程中，比較容易被混淆，因此，要多加注意.

（二）用兩個重要極限求解

重要極限sinxx中，sinx和x是兩個類型完全不同的X數，但是卻可以通過該極限促使三角函數和一次函數之間建立起函數關系，將兩者進行比值就可以求解.而且極限使用范圍非常廣泛，可以解決一些現實的問題.在很多高等數學中，極限求值問題可以將其化為極限求值，但是當學生在借助重要極限進行函數極限求值時，這個使用需要充分掌握極限的形式以及特點，只有這樣才可以將極限求值進行化解，使得極限形式一致.例如：limx-0sinxx=1，limx-0（1+x）1x=e.

（三）利用極限的等價定理

這里講解到的等價定理，主要是單側極限以及雙側極限之間的關系定理，這種求值方法比較特別，在進行求解時，一般比較合適使用于分段函數中.利用極限的存在性定理.極限的存在定理，主要有兩個定理，而且是比較常用的兩個.第一是夾逼定理，第二是單調有界數定理.這兩個定理是使用于數列極限以及函數存在性證明的，有的時候也可以將其使用于極限求值中，尤其是數列極限問題求值.例如：

limx→0tanx-sinxsin3x的極限.

limx→0tanx-sinxsin3x=limx→0sinxcosx-sinxsin3x=limx→0sinx（1-cosx）cosxsin3x=limx→02lim2x2sin2x=lim2×14

sin2x2x2

2xsinx2=12.

這樣就可以輕松的求出函數值.

四、高數教學方法

（一）主體式教學方法

主體式教學方法來源于美國頭腦風暴教學法，這種學習方式相對于簡單的個人學習，獲得學習效果會更加明顯.具體做法是，教師要選擇出合適的教學素材，選擇合適的學習伙伴，學習伙伴針對當前教學問題提出異議，提出自己的觀點.教師根據學生的觀點再進行總結.極限函數數學教學中，主體式教學方式需要教師合理利用，這樣獲得的教學效果會更加明顯.這種教學方式能夠激發學生學習興趣，使得學生學習獲得創造性思維.首先，教師應該做好材料選擇工作，然后再進行分組討論，這樣可以獲得良好的教學效果.需要注意的是，主體式教學方法應該需要獲得一個平等和民主課堂教學氛圍，作為初中數學教師，需要學生在課堂中充分地表達自己的觀點，教師要尊重學生的觀點，使得學生在思維上獲得更大思維空間.教師要充分利用學生思維見解不同之處，基于無錯原則進行評價學生發言.

（二）培養學生參與意識

學生參與課堂教學，使得課堂變得活躍，教師教學積極性也提高，學生學習積極性也得到激發.在教師暗示或者提示下，學生自己去發現問題尋找出問題所在.找到問題根源之后，需要選擇出應對方法.一般而言個人發現的問題和小組發現的問題都不相同.不論怎樣需要明確這些問題重要性，通過課程教學解決問題.另外，學生應該明確自身的學習任務，該課程傳輸的知識，在課程學習中自己學到了哪些知識，這些知識對自己有何用處.當獲得了課程知識之后，需要分享知識，傾聽其他同學的學習心得，最后匯聚成結論.

（三）概念教學方法

極限函數數學概念可以識別一類數字的共性，對此作出不同的感性，這一學習過程就是概念學習過程.概念學習最明顯的特點是要抽取出一類對象，這些對象有著共同的特性，進行辨別學習過程中，就是識別一類對象不同特性之過程.這兩者是有區別可言的.但是，進行極限函數數學概念學習時，共性抽象是需要在一定的區分范圍內的，因此要求學生要有區分能力.這也是學習概念前提.眾所周知，數學研究對象，這是實現數量關系以及空間形式最有效的方式.數學概念可以清晰地反映出這個對象的本質和屬性，可以將數學概念學習表示為一種思維形式.數學概念具有抽象和具體的雙重性.數學概念可以反映出事物數量關系以及空間形態之間的本質屬性，它屬于思維形式.極限函數數學概念的使用，可以抽象地將事物內在的聯系表現出來.一般而言，這些抽象的具體事物一般都會離開物質內容，附于數學概念基礎上進行多層次的抽象升級.

結束語

另外，還可以使用四則運算方法，不過四則運算方法是最為基礎的方法.該方法的使用和結構良性知識比較相近，在實際使用過程中可以直接求解.總而言之，數學函數極限，地位非常高，在進行函數極限學習時，理當基于把握教學方法基礎上開展教學.

【參考文獻】

[1]李軍成.《函數圖像及圓錐曲線圖像繪制軟件》制作綜述[J].中國信息技術教育，2012（2）.

[2]鄧正紅.利用函數圖像激發學生的探究函數的興趣[J].都市家教（下半月），2013（12）.

[3]顧平.數學函數的組織異化數學模式——織物規則組織CAD的新生成法[J].絲綢 ISTIC PKU，2001（11）.