三種策略破解二元函數(shù)難題

張勇

【摘要】函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，貫穿了整個(gè)高中課程，同時(shí)還是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ).所以在高考中，函數(shù)知識(shí)占有極其重要的地位.

【關(guān)鍵詞】策略;二元函數(shù);破解

其試題不但形式多樣，而且近年來更注重了在知識(shí)的交匯處命題，綜合性強(qiáng)，能力要求高，是高考中考查數(shù)學(xué)思想方法，考查能力素質(zhì)的主陣地.因此，多數(shù)省份在命題時(shí)均將函數(shù)作為最后的壓軸題.其中，盡管二元（多元）函數(shù)在高中教材中沒有明確出現(xiàn)，但以其為背景的題目正頻繁地出現(xiàn)在高考和各級各類調(diào)研考試題中，如2013年陜西卷、2012年湖南卷、2010年天津卷、2010年湖南卷、2013年成都市一診、2013年湖北八校聯(lián)考試題，等.該類題目的基本特征是在問題中涉及多個(gè)（一般為2個(gè)）變量，以求參數(shù)取值范圍或證明不等式的形式出現(xiàn)，背景新穎，對學(xué)生推理論證、創(chuàng)新能力有較高要求，難度較大.筆者總結(jié)了處理該類問題的三種常用策略，梳理如下.

策略一 取定主元：暫時(shí)將另一變量視為常數(shù)

例1 （2013年陜西卷）已知函數(shù)f（x）=ex，x∈R.

（1）（2）略;

（3）設(shè)a

分析 該題的主要難點(diǎn)在于a，b均在變化，本質(zhì)上即為二元函數(shù)問題.但若將a，b

均作為自變量，不符合高中學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律.因此，可將a視為常數(shù)，將b視為主元.

作差：f（a）+f（x）2-f（x）-f（a）x-a=ea+ex2-ex-eax-a

=（x-a）（ea+ex）-2（ex-ea）2（x-a），x∈（a，+∞）.

令g（x）=（x-a）（ea+ex）-2（ex-ea），x∈（a，+∞），

則g′（x）=（x-a）ex+ea-ex.

再令h（x）=（x-a）ex+ea-ex，x∈（a，+∞），

有h′（x）=（x-a）ex>0，因此h（x）在區(qū)間（a，+∞）上單調(diào)遞增.

又h（a）=0，故h（x）>0，即g′（x）>0，故g（x）在區(qū)間（a，+∞）上單調(diào)遞增.

又g（a）=0，所以當(dāng)x>a時(shí)，g（x）>0，即f（a）+f（x）2>f（x）-f（a）x-a.

即f（a）+f（b）2>f（b）-f（a）b-a.

策略二 構(gòu)造新變量

例2 同例1.

解析 我們知道，利用基本不等式x+y2≥xy求最值是一類常見的問題，這本質(zhì)上仍是多元函數(shù)問題.而我們處理該類問題一般是通過代數(shù)變形，利用整體構(gòu)造的方式：若x+y為常數(shù)，則得到xy的最大值;若xy為常數(shù)，則得到x+y的最小值.從中得到啟發(fā)，我們有如下的解法：

作差：f（a）+f（b）2-f（b）-f（a）a-a=ea+eb2-eb-eab-a

=（b-a）（ea+eb）-2（eb-ea）2（b-a）

=ea[（b-a）（1+eb-a）-2（eb-a-1）]2（b-a）.

設(shè)函數(shù)m（x）=x（1+ex）-2（ex-1），x>0，

則m′（x）=xex+1-ex，設(shè)u（x）=xex+1-ex，x>0，

則u′（x）=xex>0，∴u（x）單調(diào)遞增.又u（0）=0，

故x>0時(shí)，u（x）>0，即m′（x）>0，即m（x）單調(diào)遞增.

從而x>0時(shí)，m（x）>m（0）=0，

即f（a）+f（b）2>f（b）-f（a）b-a.

策略三 構(gòu)造新函數(shù)

例3 （2010年遼寧）已知函數(shù)f（x）=（a+1）lnx+ax2+1.

（1）討論f（x）的單調(diào)性;

（2）設(shè)a<-1，若對任意x1，x2∈（0，+∞），|f（x1）-f（x2）|≥4|x1-x2| ，求a的取值范圍.

解析 （1）略.

（2）由（1）知當(dāng)a<-1時(shí)，f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減.

該問題的難點(diǎn)在于x1，x2是兩個(gè)獨(dú)立變化的量，無內(nèi)在聯(lián)系，因此將其中任何一個(gè)視為常數(shù)均不好處理;同時(shí)要構(gòu)造一個(gè)與x1，x2均有關(guān)的量也無法完成，需另辟蹊徑.

首先考慮去掉絕對值符合，這結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可以解決.

不妨設(shè)x2>x1，則f（x2）

此時(shí)按照變量分離的思想我們可以將x1，x2各置一方：f（x1）+4x1≥f（x2）+4x2.

因此，我們可以構(gòu)造一個(gè)新函數(shù)：g（x）=f（x）+4x，則問題等價(jià)于函數(shù)g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減即可，這是我們非常熟悉的一類問題，已經(jīng)不難解決.

g′（x）=a+1x+2ax+4，

令g′（x）≤0，可得a≤-4x-12x2+1=（2x-1）2-4x2-22x2+1=（2x-1）22x2+1-2.

故a的取值范圍是（-∞，-2].

點(diǎn)評 在該問題中，將f（x1）-f（x2）≥4x2-4x1變形為f（x1）+4x1≥f（x2）+4x2是最關(guān)鍵的一步，這實(shí)際上是分離變量思想的一個(gè)應(yīng)用，通過將x1，x2各置一方，提煉出共同的結(jié)構(gòu)，為我們構(gòu)造新函數(shù)解決問題鋪平了道路.

回顧上述方法，我們可以發(fā)現(xiàn)，處理二元函數(shù)問題的核心思想是“減元”，即將二元化為一元，只是轉(zhuǎn)化方式各有不同，正所謂“條條大道通羅馬”，只要我們抓住核心思想，以不變應(yīng)萬變，解決這樣的壓軸難題也并不困難.