求函數類型y=Cx+DAx+B值域的教法的改進

彭增軍

【摘要】求函數類型y=Cx+DAx+B（A，B，C，D為常數，且A≠0）的值域直接用反函數法和分離常數法顯得突兀生硬，學生難以接受.本文從反比例函數出發利用函數圖像的平移得到分離常數法，進而層層深入得到求函數類型y=Cx+DAx+B（A，B，C，D為常數，且A≠0）的值域的方法.這種教法循序漸進過渡自然，學生更容易接受.

【關鍵詞】反函數法;常數分離法;反比例函數;圖像的平移

眾所周知，對函數而言最為重要的是函數三要素：定義域、值域、對應關系.從歷屆學生對函數三要素掌握的情況來看，值域是最薄弱的一個環節.因為求函數值域的題目形式多難度大，學生在眾多的求函數值域的方法中往往莫衷一是舉手無措.求函數值域的一些常用方法有：反函數法、分離常數法、換元法、配方法、判別式法、單調性法等等.求函數類型y=Cx+DAx+B（A，B，C，D為常數，且A≠0）的值域，反函數法和分離常數法是最簡單、最普遍，也最具典型性的方法.然而從學生做作業反饋的情況來看，這兩種方法掌握得并不理想.通過聽課翻閱資料發現，在求函數類型y=Cx+DAx+B（A，B，C，D為常數，且A≠0）的值域的教法上略作改進，效果則要好得多.下面將通過一個例子來具體說明：

例 求函數y=3x-2x-1的值域.

解 反函數法：

由y=3x-2x-1經過整理變形得x=y-2y-3，此時把y看作自變量，x看作因變量，x是y的函數，函數x=y-2y-3的定義域為{y|y≠3}，所以函數y=3x-2x-1的值域為{y|y≠3}.

分離常數法：

∵y=3x-2x-1=3（x-1）+1x-1=1x-1+3，

∴函數y=3x-2x-1的值域為{y|y≠3}.

求函數的值域是在高一第一章集合與函數概念中學習的，學生的具體情況是剛剛從初三步入高一，之前沒有接觸過“反函數”和“分離常數”，老師為講授這一道題直接用這兩種方法，學生會感到突兀生硬甚至困惑不解.如果用反函數法，勢必要引入反函數的有關概念，這樣一來，那么要講的知識就多了.如果用分離常數法，之前沒有任何鋪墊過渡，那么學生就會產生疑惑，比如，為什么要分離出來一個常數呢？鑒于以上考慮，反函數法是不可取的，當然在學完反函數的有關概念之后上例可以作為反函數應用的一個很好的例子.倘若從反比例函數出發，再利用函數圖像的平移，最終得到分離常數法，解法就更加完美了.下面給出上例改進后的做法：

此時，老師點出由3x-2x-1到1x-1+3就是“分離常數法”.這樣由反比例函數圖像經過平移得到分離常數法，可以消除沒有過渡直接用分離常數法的突兀生硬.老師進一步說上面這個表格只是一個過渡，同學們以后做題時直接用分離常數法即可.但是在一開始講授分離常數法時，類似于上面表格的過渡一定要呈現給學生看.其次老師引領學生得到函數類型y=cax+b+d（a，b，c，d為常數，且a≠0）的值域{y|y≠d}.最后老師可以舉一個類似于求函數y=6x+52x-1的值域的例子，從而得到函數類型y=Cx+DAx+B（A，B，C，D為常數，且A≠0）的值域，即函數y=Cx+DAx+B（A，B，C，D為常數，且A≠0）利用分離常數法總能化為函數y=cax+b+d（a，b，c，d為常數，且a≠0）的形式，所以其值域為{y|y≠d}（d為常數）.

結合新課改和學情，從初中所學的反比例函數出發利用函數圖像的平移得到分離常數法，進而層層深入得到求函數類型y=Cx+DAx+B（A，B，C，D為常數，且A≠0）的值域的方法.這樣做至少有以下三點好處：第一，使學生體會到以往所學的數學知識是有用的;第二，進一步加深了反比例函數的性質和圖像的平移;第三，循序漸進，由易到難，由簡到繁，過渡自然，學生容易接受很難忘記.