課堂的意外生成與課后的反思探索

周珊娜

【摘要】本文通過一堂課“三角函數求最值”的某教學片段，展示師生教與學的能動關系，以及教后反思.

【關鍵詞】意外生成;反思;探索

隨著新課程改革的不斷深入，課堂教學的過程已成為師生共度的歷程、體驗，在這樣的課堂上，教學不再是由教師獨家策劃預定的劇本，倒更像是一部精彩的電影，隨著故事情節的變幻莫測而不斷高潮迭起，課堂上的“意外生成”正是使教學更給力的催化劑.如果教師能適度反思，不斷追問學生，就能大大提升學生的學習能動性.下面就是我在“三角函數求最值”的課堂教學中的“意外生成”，進而反思與探索的成果：

在講解完課本中三角函數式化簡求解最值的習題后，給出一道拓展思考題：求函數y=sinx+cosx+sinx·cosx的最值.對該題，旨在引導學生發現次數不等，不能沿用“降次——化角——減名”的解題模式，并對比二次函數求最值的類型處理，也就是運用換元法，解之，即：（換元法1）令sinx+cosx=t，則sinx·cosx=t2-12，進而轉化為

y=t+t2-12=12（t+1）2-1，-2≤t≤2.

結合二次函數的圖像與性質解得最值：

當且僅當t=2時，ymax=122+12-1=2+12;當且僅當t=-1時，ymin=-1.

一般來說，介紹此法之后，也就達到預期的目的了.況且根據以往的經驗，此方法是唯一的解法，且學生剛學完必修4，對于綜合性題型接觸不多，基礎水平普遍不是很高，本來就此結束.“難道沒有其他解法？學生有何想法？只是被動接受還是另有想法？如果能找到一種“更新”的解法，就能得到一個很好的寫作素材.”于是我試問學生，能否將函數式變為關于一個角的某三角函數呢？于是就有

y=sinx+cosx+sinx·cosx=2sinx+π4+12sin2x.

至此，我本以為此路不通，停留片刻，學生甲不待舉手直接大聲喊：當x=π4時可同時取到最大值2和12.多么簡潔明快啊，真的突破了教師慣用的“換元”思維定式，令人耳目一新.

當大家陶醉于這個漂亮的解法時，我并不罷休，繼續反思，既然直覺觀察x=π4時取得最大值，說明有內在的必然性和合理性，絕不是偶然.這不有學生自己發問：那什么時候取得最大值呢？ymin=-2-12會成立嗎？怎么解釋？

我也追問：“你是怎么發現的？到底能否化為一個角的三角函數呢？”

學生乙舉手發表了想法：y=2sinx+π4+12sin2x

=2sinx+π4-12cos2x+π2

=2sinx+π4-121-2sin2x+π4.

令sinx+π4=t，則-1≤t≤1，結合二次函數的圖像與性質可得：

當且僅當t=1時，ymax=22+12-1=2+12;當且僅當t=-22時，ymin=-1.

這時學生甲也說出了自己的解釋：從y=2sinx+π4和y=12sin2x的圖像上觀察到它們同時取得最大值，但是最小值不能同時取得，所以ymax=2+12，ymin≠-2-12.

數形結合思想的應用和誘導公式的巧妙轉化，我當場驚呆了，多么完美的解答啊！顯然兩名同學的解法產生都是在追問之下，促使進一步反思而產生的，其他同學或許有不明白，但是至少思索的興致被大大調動了.此時下課鈴聲響了，可是同學們仍意猶未盡.我借此讓學生課后總結歸納一下三種解法的特點，再思考探索新的解法.

該課給了我很大的觸動，如果教師在課堂教學時保持敏銳的觀察，多提問，留時間給學生思考，如果教師也有學生一樣的求學心態，那么教學將是多么有趣的思維運動，學生還會厭學、抵觸數學嗎？

思考不停止，探索還在繼續，不為解題，只為學習，學無止盡.