以集合論探究約數和倍數關系的新視角

郭思聰 潘小雙

【摘要】本文從自然數分解定理出發，從集合論的角度，探究整數與其約數和倍數之間關系，發現整數中約數和倍數之間關系與集合運算的結構相似性，采用類比思想，推導出任意多個自然數與其最大公約數和最小公倍數之間的關系式.

【關鍵詞】約數;倍數;集合;結構相似性;關系式

一、問題提出

初等數論是研究數的規律，特別是整數性質的數學分支.在初等數論這一研究整數的規律和性質的數學分支內，有一部分叫作整數的整除理論，主要是探究整數中合數的約數、質約數和倍數之間的關系.很多文獻對數的整除性質及其應用進行了較深入的探討.眾所周知，兩個自然數的乘積與它們的最大公約數和最小公倍數的乘積相等.但是，對于多個合數之間的公共約數、公共倍數之間聯系此類數論問題，初看尚沒有很好的論證思路，但從集合論的角度，采用類比論證的思路，這個問題就能迎刃而解.

二、兩個自然數的公約數和公倍數之間關系

探討兩個自然數之間的公約數和公倍數，最為直接的方法便是輾轉相除法，即從最小的質數2開始，判斷這兩個自然數是否能夠同時被同一個質數整除，并同時除以該質數得到兩個新自然數，重復上述步驟，直到最終得到的兩數互質（即兩數除1以外不能被任何數整除），這些所有除數相乘，便能夠得到這兩個數之間的最大公約數.

由算術基本定理可知，任意一個自然數n，存在n=pα11·pα22·pα33·…·pαnn（分解唯一），其中p1

不妨令：a=pα11·pα22·pα33·…·pαnn，b=p1β1·p2β2·pβ33·…·pβnn，可知a，b兩自然數的最大公約數為：

（a，b）=pmin（α1，β1）1·pmin（α2，β2）2·pmin（α3，β3）3·…·pmin（αn，βn）n.（1）

同理可得a，b兩自然數的最小公倍數：

[a，b]=pmax（α1，β1）1·pmax（α2，β2）2·pmax（α3，β3）3·…·pmax（αn，βn）n.（2）

由（1）、（2）得到：

（a，b）·[a，b]=p1min（α1，β1）+max（α1，β1）·pmin（α2，β2）+max（α2，β2）2·pmin（α3，β3）+max（α3，β3）3·…·pmin（αn，βn）+max（αn，βn）n=pα1+β11·pα22+β2·pα3+β33·…·pαn+βnn=pα11·p1β1·pα22·pβ22·pα33·pβ33·…·pαnn·pβnn=a·b.

即：（a，b）·[a，b]=a·b.（3）

從（3）式可得到結論，即兩個自然數的乘積與它們的最大公約數和最小公倍數的乘積相等.

三、多個自然數的公約數和公倍數之間關系

再進一步拓展，討論三個自然數的最大公約數、最小公倍數以及這三個自然數本身之間的關系，我們不難發現，鑒于考慮到三個自然數的質因數分解，各質數之間單純地取最小、最大指數無任何規律可循，況且取極值后的乘積與三個自然數本身的乘積也無必然聯系，若采用上述論證方法，則顯得十分復雜.這時，若運用集合論和類比的思想，發現整數中約數和倍數之間關系與集合并交差運算的結構具有高度相似性，采用集合運算和類比的思想，三個自然數的最大公約數、最小公倍數以及這三個自然數本身之間的關系問題便迎刃而解.

在集合中，我們常常結合維恩（Venn）圖探究兩個或多個集合中元素的數量關系.例如，當兩個集合A∩B≠時，則該兩個集合中的元素數目關系如圖1所示.

圖1 集合A與B元素之間關系

可表示成：card（A∪B）=card（A）+card（B）-card（A∩B），即：

card（A∩B）+card（A∪B）=card（A）+card（B）.

亦可表示為：A∪B+A∩B=A+B.（4）

采用集合思想，看待兩個自然數及其公約數與公倍數關系，公約數即可以類比為以兩個自然數的所有約數為元素的集合的交集，最大公約數（a，b）即可類比為card（A∩B），或A∩B.公倍數則可類比為以兩個自然數的所有倍數為元素的集合的并集，最小公倍數[a，b]即可類比為card（A∪B），或A∪B，不難發現（3）式與（4）式的結構具有高度相似性.

當存在三個集合A，B，C，且A∩B∩C≠時，如圖2所示.可以直觀得知三個集合中的元素數目存在的關系可表達為：

圖2 集合A、B與C元素之間關系

card（A∪B∪C）=card（A）+card（B）+card（C）-card（A∩B）+card（B∩C）+card（A∩C）+card（A∩B∩C）.

亦可表示為：

A∪B∪C=A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C.（5）

同理，三個自然數的公約數即可以類比為以三個自然數的所有約數為元素的集合的交集，最大公約數（a，b，c），即可類比為card（A∩B∩C），或A∩B∩C.其公倍數則可類比為以三個自然數的所有倍數為元素的集合的并集，最小公倍數[a，b，c]，即可類比為card（A∪B∪C），或A∪B∪C.采用同樣類比方法，三個自然數的最大公約數、最小公倍數以及這三個自然數本身之間的關系便一目了然，即：

[a，b，c]=a·b·c（a，b）·（b，c）·（a，c）（a，b，c）

=a·b·c·（a，b，c）（a，b）·（b，c）·（a，c）.（6）

對于任意n個集合，其元素數目關系，經總結與歸納，可表達為：

card（∪ni=1Ai）=（-1）0·∑ni=1card（Ai）+（-1）1·∑n-1i1=1∑n i2=i1+1card（Ai1∩Ai2）+（-1）2∑n-2i1=1∑n-1 i2=i1+1∑n i3=i2+1card（Ai1∩Ai2∩Ai3）+…+（-1）n-1·card（∩ni=1Ai）.（7）

可以猜想四個、五個、六個甚至更多自然數的最大公約數、最小公倍數，以及這些自然數本身之間的關系，與（6）式表達式的結構類似.推廣上述思路，由（7）式，我們又得到任意n個自然數的最大公約數、最小公倍數，以及這些自然數本身之間關系為：

[a1，a2，a3，…，an]=a1·a2·a3·…·an·（a1，a2，a3）·…（a1，a2）·（a1，a3）·…·（a1，an）·（a2，a3）·…·（an-1，an）·….（8）

在（8）式中，奇數個自然數的最大公約數總是位于分子上，偶數個自然數的最大公約數總是位于分母上.

結 語

以集合運算的視角，發現整數中約數、倍數以及整數本身之間關系，與集合并交差運算的結構相似性，采用類比思想，推導出任意多個自然數與其最大公約數和最小公倍數之間的關系表達式.

初等數論貌似簡單，但真正掌握并非易事，它的內容嚴謹簡潔，方法奇巧多變，蘊含了豐富的數學思想方法.善于觀察，運用形象思維和類比思想，是解決此類數論問題的有效途徑之一.

【參考文獻】

[1]潘承洞，潘承彪.初等數論（第三版）.北京：北京大學出版社，2013.

[2]鄔永光.用同余理論證明數的整除.內蒙古師范大學學報（教育科學版），1998（4）.

[3]呂烈翰.關于整除問題.數學通報，1982（11）.

[4]羅從文.自然數的約數集構成的KleeneStone代數.華中師范大學學報（自然科學版），2005（3）.