化曲為直，以弧為橋梁，解決圓中問題

杜美玲

【摘要】圓是一種特殊的曲線，也是學生在初中階段的學習中可求的長度（即弧長、圓周長），可進行加減或等量轉化的一種曲線，它有別于函數圖像如雙曲線、拋物線等.圓雖然為曲線形的平面幾何圖形，但它與直線圖形卻有密不可分的聯系，初中教材在圓這一章節中主要從幾何角度研究圓這一曲線型圖形與直線型圖形的關系.

【關鍵詞】化曲為直；解決；圓中問題

根據把圓繞圓心旋轉任意一個角度，所得的圖形都與原圖形重合這一幾何性質得到定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等.并且還可以得到：在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么它們所對的圓心角相等，所對的弦相等；如果兩條弦相等，那么它們所對的圓心角相等，所對的弧相等.因此，在同一個圓中，只要弧、弦、圓心角三組量有一組相等就能推出其余兩組量相等.還有圓周角定理：同弧或等弧所對的圓周角都相等，都等于圓心角的一半.這兩個定理是初中階段圓的學習中很重要的兩個定理.這里，弧是學生接觸到的第一種可量化的曲線，它在這一定理中起到重要的橋梁作用，我們可以將圓的有關問題中相等的弦或角轉化成等弧，再由等弧推得等弦或等角，便能找到解題思路.

學生在解決圓的相關問題時，若能利用圓中曲線的特殊性，找到關鍵的弧，化曲為直，以弧為橋梁，便能有效解題.

圖 1例如：如圖1， AB是⊙O的直徑，弦 AC 為6 cm，∠ACB 的平分線交⊙O于 D，弦BD為52cm，.求AB，BC的長.

解決本題時，從角平分線入手得到相等的圓周角∠ACD=∠BCD，將等角轉化為等弧，即AD=BD，這時等弧可推得等弦AD=BD，便得到等腰直角△ABD求出AB=10.此外，也可將等弧推得等角∠BAD=∠ABD=45°得到等腰直角△ABD，解決該題.

我們將圓中的等角（圓心角或圓周角）轉化為等弧，再將等弧轉為等弦或等角（圓周角或圓心角），以弧為橋梁能夠有效解決圓中的有關問題.下面再具體分兩類舉例說明.

圖 2（一）將等弧轉化為等弦

例1 如圖2，在⊙O中，AD=CB，AB=5 cm，求CD的長.

本題學生在求解過程中傾向于利用全等證明AB=CD，如利用角角邊證明△AED≌△CEB來得到AE=EC及DE=BE，再利用等量相加得到AB=CD.但對于全等證明方法掌握不夠牢固的學生來說，他們容易連接BD來證明△ABD≌△CDB，得到AB=CD，這部分學生犯了用邊邊角證明三角形全等的錯誤方法導致整題錯誤.更有甚者，在連接BD后默認其為直徑導致進入解題誤區.在解決這道題時，學生若能懂得在圓中處理弧的等量轉化，即：∵AD=CB，∴AD+AC=CB+AC，得到DC=AB，再利用弧弦轉化，將等弧轉化為等弦AB=CD便能繞過全等更快地得出解答.

例2 已知A，B，C，D是⊙O上的四個點.

（1）如圖3，若∠ADC=∠BCD=90°，AD=CD，求證：AC⊥BD；

（2）如圖4，若AC⊥BD，垂足為E，AB=2，DC=4，求⊙O的半徑.

圖 3 圖 4 圖 5

在第二問的求解中，要求⊙O的半徑，很自然地需要作直徑DE，如圖5，并構造直徑所對的圓周角來得到直角三角形以便求出直徑.但學生在處理直角△ECD時僅僅知道DC一條邊的長度，未能求出斜邊直徑的長度，許多學生因此卡在這里無法解決該題.這時，根據已知條件AC⊥BD，再結合∠DBE=90°可以發現BE∥AC，從而得到相等的弧AB=EC.利用弧弦之間的轉化，將等弧轉化為等弦，即EC=AB=2，很快可用勾股定理求得直徑DE的長.

在解題時尋找起到關鍵作用的弧，將等弧轉化為等弦，是解決圓有關問題的一個有效方法，因此建議教師在圓的章節教學時，注意引導學生發現題中的等弧，滲透弧弦之間的聯系，在圓中以弧為橋梁，化曲為直解決相關邊長問題.

（二）將等弧轉化為等角

除了求邊長的類型題外，圓中求角的問題也可利用弧為橋梁來解決，圓周角定理及逆定理的使用正是這一思想方法的體現.因此，在圓中遇到求角度的問題時，若能弧相等與角相等聯系起來，抓住關鍵的弧，轉化為相應的角就能很好地解決求角度的問題.下面舉例說明，利用弧為橋梁，解決圓中求角的問題.

圖 6例3 如圖6，在⊙O中，弦AC和BD相交于點E，AB=BC=CD，

若∠BEC=110°，則∠BDC=（ ）.

A.35° B.45°

C.55° D.70°

解決本題時可利用同弧或等弧所對的圓周角都相等這一結論標出圖中相等的角，即∠BDC=∠CAB=∠CBD=∠ACB，再通過已知條件∠BEC=110°，在△CEB中解得∠CBD=∠ACB=35°，由此得出答案A.

圖 7例4 如圖7，AB是⊙O的直徑，C，D，E都是圓上的點，則∠1+∠2=.

解決本題時，∠1和∠2的度數并不好求，因此若能先找到∠1和∠2所對的弧AE和EB，發現兩弧之和是一個半圓，從而根據半圓所對圓周角為90°就能得到∠1+∠2=90°.圖 8圖 9

例5 如圖8，AB是⊙O的直徑，C，D是⊙O上的點，AD=CD，若∠DAB=55°，求∠DAC的值.

解決本題時利用以弧為橋梁的思想，找到要求的∠DAC所對的CD及其相等的AD來尋求解題思路.構造AD所對的圓周角∠ABD，如圖9，利用直徑所對的圓周角為90°，在Rt△ADB中求得∠ABD=35°，再利用等弧所對的圓周角相等得到要求的

∠DAC=35°.

此外，在構造正多邊形時，只要將圓分成相等的一些弧，就可以作出這個圓的內接正多邊形，也正是以弧為橋梁這一思想的重要體現，通過等分圓來得到各邊都相等，各角也相等的正多邊形.

教師在初中階段圓這一章節的教學中，若能注重培養學生對弧的認識，讓學生看到圓中的弧，接受弧，并利用弧，以弧為橋梁帶動解題思路，熟練掌握等弧轉化為等弦，等弧轉化為等角的方法，就能使學生更好地掌握圓這一曲線圖形與直線圖形之間的聯系，解決圓中的有關問題.