高中數學概念教學現狀與優化策略

丁正燕

【摘要】數學概念是數學思維的細胞，是學生學習數學知識的基石，也是學生進行數學思維的邏輯起點，是高中數學基礎知識的核心.但是重解題、輕概念，重結論、輕過程，重講授、輕探索的現象比較普遍，從而導致學生對數學概念的理解和掌握效果大打折扣.因此，對高中數學概念教學的優化，以求共同推進課程改革的深入.

【關鍵詞】數學概念；概念數學；優化策略

新一輪課程改革的核心理念強調“重視科學教育，全面提高學生的科學素養”.科學概念是組成科學知識的基本單元，也是科學素養的基本構成要素，對數學核心概念的正確表征是衡量科學素養的一個重要維度.數學概念是數學思維的細胞，是學生學習數學知識的基石，也是學生進行數學思維的邏輯起點，是高中數學基礎知識的核心.因此，數學概念教學，是數學教學成功與否的一個重要標志，也應該成為老師教學的著眼點和落腳點.

一、高中數學概念教學現狀

1.重解題，輕概念

一方面受應試教育的影響，許多教師仍然存在“重解題技巧教學，輕數學概念教學”的傾向，有的教師還刻意追求“概念教學的最小化和習題教學的最大化”；另一方面受課時安排及教學進度的影響.這樣的結果導致學生在沒能正確理解數學概念，無法形成能力的情況下匆忙去解題，使得學生只會模仿老師解決某些典型的題型和掌握某類特定的解法，一旦遇到新的背景、新的題目就束手無策，甚至導致教師和學生為了提高成績陷入無底的題海之中.

2.重結論，輕過程

有的教師為完成教學任務，在概念的教學過程中往往把數學概念看作一個名詞，對概念作解釋，只重視對概念的記憶，而忽視概念的引入和形成過程.在引入概念時沒有留給學生足夠的空間讓學生經歷概念的產生、探究過程，沒有真正理解和揭示概念的本質，這樣很難體會其中所蘊含的數學思想方法和它們在后續學習中的作用，致使學生創造力低，缺乏可持續發展的后勁.

3.重講授，輕探索

由于數學概念的單調、枯燥，教師不敢放手讓學生自主探索，而是強行地將一些新的數學概念灌輸給學生，僅注重教師教的過程，忽視學生學的過程，也沒能通過大量實例分析揭露概念的本質，這樣不能體現學生的學習主體性，嚴重影響了學生正確數學觀念的形成，阻礙了學生的能力發展.

二、數學概念教學的有效策略

有效教學指教師遵循教學活動的客觀規律，以盡可能少的時間、精力和物力投入，取得盡可能多的教學效果，從而實現教學目標，滿足社會和個人的教育價值需求.它是一個動態發展的概念，其內涵一直隨著教學價值觀、教學理論基礎以及教學方法變化而不斷擴展、變化.本文結合教學實踐介紹概念教學的幾種策略.

1.創設生活情境，感知數學概念

概念的引出是進行概念教學的第一步，這一步走得如何，將影響學生對數學概念的學習.因此，在概念教學中，教師不應只簡單地給出概念，而應加強對概念的引出，加深對新概念的印象，創設情境是解決這一問題的最好方法.

案例1 在“算法語句”教學時的教學片片：

師：編一個程序，交換兩個變量A和B的值，并輸出交換后的值.

生1：輸入A，輸入B，然后A=B，B=A.

師：這樣做行嗎？大家再想想這樣真的交換了A與B的值嗎？

生2：不可以，這樣輸出的都是B或A的值.

師：這個問題就如同日常生活中的兩瓶紅、黑墨水，你想交換兩者，可不可以直接把黑的倒到紅的瓶里，再倒回來？

圖 1生2：不對，應先把其中一瓶倒入一個空瓶，再交換.

師：也就是說要借助空瓶才可實現交換，所以這里應

該引進一個變量T.首先把紅墨水倒入空瓶T中，再把黑

墨水倒入原先裝有紅墨水的瓶中，最后把空瓶T中的紅墨

水倒入原先裝有黑墨水的瓶中（如圖1所示，在黑板上畫

出圖1）.上述A與B的交換問題該如何抽象為數學符號

語言？

生眾：T=A，A=B，B=T.（學生齊聲說出了答案）

在教學片段中，教師從學生的生活經驗和已有的認知水平出發，借助生活中倒墨水的情境自然引導學生引入變量T，實現了從經驗性概念轉變到理論性概念的過程.因此，教學情境的創設應處于學生思維水平的“最近發展區”，與學生已有的數學認知發展水平相適應，這樣可以幫助學生有意義建構數學概念，也可提高學生的學習效率.

2.加強例證分析，類比數學概念

概念的形成，需要從大量典型、豐富的具體例子出發，學生經過自己的實踐活動，去偽存真，從中分析、類比、猜想、聯想、歸納、概括出一類相同事例的共同本質特征，從而理解和掌握概念.

案例2 在“分類計數原理與分步計數原理”教學時的教學片段：

問題1：書架有三層，上面一層放6本不同的數學書，中間一層放5本不同的語文書，下面一層放3本不同的外語書.從書架上任取1本書，有多少種不同的取法？

問題2：書架有三層，上面一層放6本不同的數學書，中間一層放5本不同的語文書，下面一層放3本不同的外語書.從書架上取數學書、語文書和外語書各1本，有多少種不同的取法？

師：以問題1和問題2為例說明解決問題的方式有哪些不同？

生1：這兩個問題相同之處都是取書問題，但是取書的方式是不同的.

（他的回答引來同學們一陣笑聲，認為他沒說到點子上）

生2：在問題1中，只要在數學書、語文書和外語書這三類書中任取1本就可以了；而問題2卻不同，它需要每一類書中都要取出1本才行.

生3：問題1中的取書是分類做的，而問題2中的取書是分步做的.

生4：這兩個問題的最大區別就是，在問題1的三類方法中，每一類方法中的任何一種取法都可以將工作做完；而在問題2的三個步驟中，缺少任何一個步驟都不能將工作做完.

師：同學們說得很好！請同學們再談一談，這兩類問題中的方法種數是怎么計算出來的？

生5：問題1用的是“加法”，而問題2用的是“乘法”.

生6：如果完成工作是分類進行的，那么就把每一類中的方法種數加起來；如果完成的工作是分步進行的，就把每一步中的方法種數乘起來，作為完成這項工作的種數.

師：通過對問題1和問題2的討論，我們發現：完成一件事可以有兩種方式，一種是分類去做，一種是分步去做.一般地，我們有（提出兩個計數原理）：

（1）分類計數原理：完成一件事，有n類辦法，在第1類辦法中有m1種不同的方法，在第2類辦法中有m2種不同的方法，…，在第n類辦法中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N=m1+m2+…+mn種不同的方法.

（2）分步計數原理：完成一件事，需要分成n個步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法，…，做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N= m1×m2×…×mn種不同的方法.

在教學片段中，兩個計數原理不是由教師直接給出的，而是在教師引導下，學生自己通過觀察、比較、概括、抽象等思維活動，逐步概括得到的.這一過程與前人形成這個概念所經歷的過程有某種一致性.這樣進行概念教學不僅能使學生深刻理解概念，而且也能更好地培養思維能力.

3.創設自主探究，建構數學概念

建構主義的教學理論指出，概念教學重點并不在于概念本身，而在于建構概念的整個過程，更在于學生本人的思維構造.教師作為概念教學過程的引導者，要恰當地搭建探究平臺，使學生通過主體探究，在新知識與各種知識建立聯系的過程中獲得新知，同時獲得成功的心理體驗，從而自主建構數學新概念.

案例3 在“二項式定理”教學時的教學片段：

師：牛頓究竟是如何發現二項式定理的？1664年冬，22歲的牛頓在研讀沃利斯博士的《無窮算術》時，引發了許多思考……

（1）（a+b）2=？ （a+b）3=？ （a+b）4=？

一般情形下，當n∈N*時，（a+b）n等于多少？不妨從（a+b）4入手，（a+b）4就是四個（a+b）相乘，（a+b）4=（a+b）（a+b）（a +b）（a+b） =a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4.

（2）引導學生觀察（a+b）2，（a+b）3的展開式，發現規律.

問題：請你觀察（a+b）2的展開式并思考：①展開式中各種類型的項是如何得到的？②展開式中各項的系數是如何確定的？

（3）引導學生探索（a+b）4的展開式的項和系數的規律.

問題：①展開式中會有哪幾種類型的項？②展開式中各項的系數是多少？

（啟發學生用多項式乘法法則和兩個計數原理和組合的知識分別解決這個問題）

（4）類比猜想，對二項式定理形成初步認識.

問題：你能將（a+b）3的展開式直接寫成類似的形式嗎？

（5）歸納猜想，進一步認識二項式定理.

問題：你能猜想（a+b）n的展開式嗎？

（6）引導學生發現一般項.（暫不稱通項）

提問：展開式中的哪一項具有一般性？

否則提問：展開式中的每一項a，b的指數各不相同，你能用一個式子表示它們嗎？

（7）證明二項式定理.

說清楚兩點即可：①展開式中會有哪幾種類型的項？②展開式中各項的系數是多少？

（8）提出“二項式定理”的概念.

在教學片段中，教師為學生創設自主探索的教學環節，充分發揮學生學習的主動性，使學生的學習過程成為在教師引導和啟發下的“再創造”過程，同時加深對數學概念的認識和理解，使學生學會用數學思維方式思考問題，進一步培養和提高學生的探究能力和創造能力.

4.運用先行組織者，同化數學概念

概念的同化是指學習者知識的習得和建構，主要依賴認知結構中原有的適當觀念，去影響和促進新的理解、掌握，溝通新、舊知識的互相聯系，形成新的認知結構系統.美國著名教育心理學家奧蘇貝爾倡導的有意義學習必須以學習者原有認知結構為基礎，為促成有意義學習，他提出了“先行組織者”教學策略.其核心思想是在學生學習新知識前呈現給他們一些引導性材料，這些引導性材料與所學新知識之間能夠建立實質性聯系.其主要目的是在學生“已經知曉”的與“需要知曉”的知識之間架設橋梁.

案例4 在“對數”教學時的教學片段：

由于對數是借助于指數式ab=N（a >0，且a≠1）來定義的，因此，在學習對數概念之前，應系統復習指數知識.可以說，指數知識是學習對數概念的第一個“引導性材料”.

為減少學生對logaN進行工作記憶的負荷，可以在學習對數概念之前，說明符號log是一個整體，不能分開去看，并介紹logaN的讀法.可以說，對符號log的提前說明是學習對數概念的第二個“引導性材料”.

提出問題1：已知2b =5，求b=？可以直接給學生講，這個b用以前學過的知識是無法求出來的.蘇格蘭數學家約翰·納皮爾為解決這類問題，花了十多年時間，發明了“對數”.納皮爾定義，b叫作由2和5確定的“對數”，簡稱b叫“對數”.這種類似于科普的講解，可作為學習對數概念的第三個“引導性材料”.

提出問題2：已知3t =7，按照納皮爾定義，在3， 7，t中哪個叫“對數”？這個問題，可作為學習對數概念的第四個“引導性材料”.問題2是問題1的一個變式，主要目的是讓學生認準對數在指數式中的位置，為進一步的抽象概括做鋪墊.

通過上述四個“引導性材料”，運用“先行組織者”教學策略，學生在正式學習對數時就有了一些感性認識，并建立有意義的學習心向，學生對對數概念的理性認識就有望實現了.

5.設計應用實例，內化數學概念

李邦河院士曾說過，“數學根本上是玩概念的，不是玩技巧，技巧不足道也”.數學概念形成之后，引導學生利用概念解決數學問題和發現概念在解決問題中的作用，是數學概念教學的一個重要環節，此環節操作的成功與否，將直接影響學生對數學概念的鞏固與內化，以及解題能力的形成和數學思維的培養.

案例5 在“向量坐標”教學時的教學片段：

師：已知ABCD的三個頂點的坐標A（3，5），B（4，6），C（2，1），試求第四個頂點D的坐標.

生1：易得AC中點的坐標52， 3，BD中點的坐標x+42，y+62，

因為平行四邊形的對角線互相平分，所以x+42=52，y+62=3.所以x=1，y=0.

生2：因為A（3，5），B（4，6），所以AB→=（1， 1）.設D（x，y），所以DC→=（2-x， 1-y）.因為AB→=DC→，所以2-x=11-y=1，所以x=1y=0.

典型實例既是對數學概念的解釋，也是良好的形象補充，學生對典型實例的深層挖掘來加深對所學概念的理解和內化，從而鞏固數學概念和更新內在知識結構.

6.運用幾何動畫，形成數學概念

美國心理學家布魯納認為：在學校教育教學中，所有教學計劃在很大程度上將依賴于為達到教學目標而采用的教學媒體.多媒體教學具有圖文聲并茂的優勢，在新概念的教學中，可以運用幾何畫板來展現新概念形成的過程，使學生保持濃厚的學習興趣，讓學生能夠很好地理解和掌握新概念，從而確保課堂教學的高效.

案例6 在“拋物線概念”教學時的教學片段：

（1）活動：折紙.（圖2）在紙片2厘米處設置點如圖2方法將紙折20～30次形成一系列折痕，它們整體地勾畫出一條曲線的輪廓.

（2）觀察、猜想：眾多折痕圍出一條拋物線.

（3）建立坐標系，畫圖，發現與y=14x2很接近.

（4）幾何畫板動態演示折紙過程及拋物線.

（5）活動（圖3）：畫3條平行于y軸的直線，折紙，發現1：其反射線經過y軸上一定點.

（6）幾何畫板演示這一過程（證明可以學生課后完成）.

（7）概念形成：焦點（一組平行于y軸的直線經拋物線反射后匯聚到焦點，由焦點出發的直線經拋物線反射后成一組平行線）.

（8）發現2：拋物線上的點到焦點的距離等于到紙邊的距離，定義準線.

（9）形成概念：（學生概括，教師補充）平面內與一個定點F和一條定直線L的距離相等的點的軌跡叫作拋物線.點F叫作拋物線的焦點，直線L叫作拋物線的準線.

從教學片段中可以看到，在不知不覺中，每名學生都參與了教學過程，通過學生的動手操作和教師的動畫演示，學生的積極性空前高漲，同時也很好地實現了教學目標.

高中數學教學中最為重要的一環為概念教學，概念是整個高中數學體系的樞紐，教學中一定要重視概念教學，核心概念的教學更要“不惜時、不惜力”.數學概念教學的意義不僅在于使學生掌握書本知識，更重要的是讓他們從中體驗數學家概括數學概念的心路歷程，領悟數學家用數學的觀點看待和認識世界的思想真諦，學會用概念思維，進而發展智力和培養能力.所以，在教學中教師根據學生的認知規律與課標要求，采取適當的教學策略，優化概念教學，使學生在參與的過程中產生內心的體驗和創造，達到認識數學思想和數學概念的本質，從而提高數學素養.