分類思想在中職數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透

俞祥龍

【摘要】數(shù)學(xué)思想方法隸屬于中職教材，融合和隱藏于數(shù)學(xué)知識體系中.作為常見的分類思想，教師要根據(jù)中職生思維特點和認知水平，在教材中挖掘，在概念、判斷、推理中揭示，幫助學(xué)生領(lǐng)悟和提煉.分類思想在中職數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透遵循循序漸進、逐步滲透、螺旋上升的原則，有助于學(xué)生形成良好的認知結(jié)構(gòu)和有助于把這種分類思想遷移到以后的工作生活中去.

【關(guān)鍵詞】分類思想 ；理性思維；滲透

數(shù)學(xué)思想和方法是數(shù)學(xué)的精髓和靈魂，其中分類思想在社會生活中、小學(xué)初中數(shù)學(xué)中普遍存在，如“物以類聚，人以群分”“合中分，分中合”，實數(shù)的分法和趣味題目“樹上停著10只鳥，獵人打中了1只，樹上還有幾只鳥？”等等.分類思想不管是在教學(xué)中，還是高教版教材中和中職大綱中都隱性地存在著，所以，我們應(yīng)結(jié)合中職生的思維特點，更多從教材中、教學(xué)中把分類思想顯性化，提高中職生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的趣味性，培養(yǎng)中職生思維的條理性、邏輯性，甚至為以后工作和生活提供指導(dǎo)，增強遷移能力.

所謂分類思想，就是根據(jù)數(shù)學(xué)本質(zhì)屬性的相同點和不同點，將數(shù)學(xué)研究對象分為不同種類的一種數(shù)學(xué)思想，又稱邏輯劃分.一般按照“明確對象——確定標準——逐類討論——歸納總結(jié)”的思維步驟來分析問題.本文從以下幾點分析分類思想在中職數(shù)學(xué)中的滲透.

1.處理教材，挖掘分類思想

中職高教版數(shù)學(xué)等數(shù)學(xué)教材內(nèi)容一般只顯示數(shù)學(xué)知識，而蘊含于知識中的分類思想方法沒有點明或為了避免分類討論而不采用分類思想方法.概念、性質(zhì)、法則、公式、定理等知識是數(shù)學(xué)的外在表現(xiàn)形式，而分類思想等數(shù)學(xué)思想屬于內(nèi)隱形式，隱藏在數(shù)學(xué)知識背后.教師應(yīng)通過處理分析教材，挖掘分類思想，體現(xiàn)數(shù)學(xué)本質(zhì).“授人以魚不如授人以漁.”很多數(shù)學(xué)知識，等到學(xué)生走上工作崗位就忘記了，而數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)邏輯思維卻會自覺不自覺地應(yīng)用與遷移到工作生活中.分類思想是貫穿整個中職數(shù)學(xué)的一種重要思想，幾乎涉及每個知識點.因此，在中職數(shù)學(xué)教學(xué)中，制定教學(xué)目標，既要體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識，又要在適宜時機體現(xiàn)分類數(shù)學(xué)思想.

比如，中職高教版數(shù)學(xué)高一教材中，對解絕對值不等式只用了絕對值的幾何意義來分析，如|x-1|<2，把x-1 看作整體，其到原點的距離小于2，得-20兩種情況討論；或?qū)ψ筮叺氖阶觴-1的正負性討論，分x-1≤0和x+1>0兩種情況討論，然后把兩類的結(jié)果合并綜合.導(dǎo)致這題錯解的原因，就是平時教師根據(jù)教材來教，解題方法的唯一性或不注意口訣的前提條件而導(dǎo)致思維的定式.因此，在講授新課時候，要尊重中職生的思維能力不強、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)總體薄弱、高一學(xué)生正從感性認識向理性認識轉(zhuǎn)變的特點.對解絕對值不等式，可分三種情況|x|<2，|x|<0，|x|<-2來分析，從而得出：|x|0，|x|

再比如，中職高教版高一教材中，對解一元二次不等式只結(jié)合一元二次函數(shù)的圖像來分析.如ax2+bx+c>0a>0，令fx=ax2+bx+c，根據(jù)圖像可得不等式的解.雖然數(shù)形結(jié)合的方法比較容易，但過了一個學(xué)期，總有些數(shù)學(xué)基礎(chǔ)中等偏下的同學(xué)對原解法理解不深刻或口訣只會生搬硬套而不會解了.因此，建議在教學(xué)中一題多解、擴散思維，對一元二次式因式分解后再對兩個式子的正負性進行討論分析，一方面可以比較兩種方法的優(yōu)劣，另一方面可以滲透分類思想.

從這兩個例子可以看出，教師在教學(xué)工作中教好教材，更要用好教材，挖掘和提煉數(shù)學(xué)思想方法，并在教學(xué)中滲透分類等思想方法，有助于培養(yǎng)中職學(xué)生數(shù)學(xué)興趣和提升思維的縝密性、深刻性.

2.形成概念，體驗分類思想

數(shù)學(xué)概念是人腦對現(xiàn)實對象的數(shù)量關(guān)系和空間形式的本質(zhì)特征的一種反映形式，即一種數(shù)學(xué)的思維形式.數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)知識的重要組成部分，基于數(shù)學(xué)內(nèi)容又高于數(shù)學(xué)內(nèi)容的一種隱性知識，往往以隱藏的形式滲透在概念發(fā)生、發(fā)展、形成過程.下面就舉幾個概念中體現(xiàn)分類思想的例子：

中職高教版數(shù)學(xué)教材對實數(shù)指數(shù)“冪”概念形成過程很簡單，“冪”這個概念最早是在乘方運算中提出來的，即相同因數(shù)連乘積的運算叫作乘方，結(jié)果稱為冪.冪的兩個要素為指數(shù)與底數(shù).底數(shù)的取值范圍由任意實數(shù)隨著指數(shù)的拓廣最后限定為正數(shù)；指數(shù)為正整數(shù)時也稱個數(shù)，指數(shù)從正整數(shù)推廣到整數(shù)，有理數(shù)再到實數(shù).最后，冪隨著指數(shù)的變化為確保冪的存在而對底數(shù)進行限定才形成實數(shù)指數(shù)冪.通過以上分析可知，冪形成的兩個要素為底數(shù)和指數(shù)，而這兩種實數(shù)都可以從范圍來分，也可以從正負性來分.而教材上沒有實數(shù)指數(shù)冪形成過程的說明，也沒有冪的分類圖，所以，建議為了對“冪”這個概念有一個整體的認識，可以從兩個角度四個方面去劃分冪，為了更好地突出冪的應(yīng)用廣泛性和引入冪函數(shù)的需要，根據(jù)指數(shù)的范圍給出如下的一個分類圖（根據(jù)指數(shù)的范圍）：

當(dāng)然，若從指數(shù)正負性來劃分：實數(shù)指數(shù)冪可以分為正指數(shù)冪、負指數(shù)冪和零指數(shù)冪.若底數(shù)從實數(shù)范圍劃分，實數(shù)指數(shù)冪也可以分為有理數(shù)底數(shù)冪和無理數(shù)底數(shù)冪.若底數(shù)從正負性劃分，則可以得到：

冪ax正底數(shù)冪（x∈R）

零底數(shù)冪（x>0）

負底數(shù)冪x≠m[]n，n∈{偶數(shù)}，m∈{奇數(shù)}

以上兩種角度四種方法的分類，都要根據(jù)一個確定的、統(tǒng)一的標準來分，分的標準就是概念的要素，多個要素可以確定多個分類.通過分類，可以使概念系統(tǒng)完整，從而達成這個概念體系，在概念的形成中和體系的搭建中滲透分類思想.

3.探究原理，揭示分類思想

中職數(shù)學(xué)教科書由于篇幅限制和中職學(xué)生的學(xué)習(xí)特點，往往只有公式、定理的簡略的推導(dǎo)過程或現(xiàn)成的結(jié)論，因而要引導(dǎo)和鼓勵學(xué)生探究原理和揭示原理背后的思想方法.

數(shù)學(xué)原理是對數(shù)學(xué)概念之間穩(wěn)定不變的關(guān)系的描述，數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)原理的基礎(chǔ).如高教版中職拓展教材中直接給出兩個計數(shù)原理，沒有對原理進行探究分析.計數(shù)原理的基礎(chǔ)涉及兩個基本概念：加法和乘法.本校學(xué)生在本區(qū)內(nèi)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是中等以下的，很多學(xué)生對分步完成乘法原理的理解只是停留在公式套用的層次上，原因在于一方面對分步完成還是分類完成分不清，另一方面對分步完成為什么用乘法原理的理解沒有本質(zhì)的認識.現(xiàn)舉例分析：

例1 甲地到乙地有2條路可以走，分別記作a和b；乙地到丙地有3條路可以走，分別記作c，d，e，那么從甲地經(jīng)過乙地到丙地共有幾種走法？

分析 若甲地到乙地選擇a，則有ac，ad，ae共三種走法；若甲地到乙地選擇b，則有bc，bd，be共三種走法，總計3+3=2×3=6種方法.

例2 在例1基礎(chǔ)上現(xiàn)增加從丙地到丁地有4條路，分別記作f，g，h，j，問從甲地經(jīng)過乙地和丙地最后到達丁地共有幾種走法？

分析 從例1可知甲地到丙地有2×3=6種，若最后一階段從丙地到丁地選擇了f，則甲地到丁地有6種，同理若選擇了g，h，j也分別有6種，所以共計6+6+6+6=6×4=2×3×4=24種走法.

從以上兩個例子分析可以看出：分步完成乘法原理的分析用到了分類思想，對每個階段出現(xiàn)的路進行分類討論；分步完成乘法原理的基礎(chǔ)是分類完成加法原理，就如乘法運算是指將相同的數(shù)加起來的快捷方式，乘法的基礎(chǔ)是加法一樣.因此，對分步完成用乘法原理的不深刻理解源于對乘法運算的含義理解的膚淺，而這個最簡單、最常見的乘法原理卻蘊含著分類的思想，在探究原理的過程中，揭示分類的思想.

4.解決問題，領(lǐng)悟分類思想

例3 已知x∈R， n∈N*，求數(shù)列xn的和：Sn=x+x2+x3+…+xn.

分析 由于x的任意性，本題未指明數(shù)列為等比數(shù)列，所以要考慮該數(shù)列是等比數(shù)列和不是等比數(shù)列兩種情況，而其中等比數(shù)列又要分公比為1和不為1的兩種情況.總之，分類討論時要考慮分x=1，x=0，x≠0且x≠1共三種情況分析求解.

例4 已知A={1，2}，B={xmx=1，m∈R}，BA，求m的取值范圍.

分析 B是A的子集，B要分空集和非空集共兩種情況.其中B為非空集時，要考慮B為單元素集合和雙元素集合，排除雙元素集合，又有B=1，B=2共兩種情況.

例5 有5名同學(xué)排成一行拍照，甲同學(xué)不排在最左邊，乙同學(xué)不在最右邊，問有幾種排法？

分析 先考慮甲同學(xué).如果甲同學(xué)在最右邊，余下的4名同學(xué)的排列不受限制，一次有A44種排法；如果甲同學(xué)不在最右邊，則只能排在中間3個位置，此時乙同學(xué)也只有3個位置可以選擇，因此有A13A13A33種排法.所以，共有A44+A13A13A33=78種.

解決以上數(shù)學(xué)問題，實質(zhì)是變換命題形式和分類思想的反復(fù)運用.比如，例1的步驟：明確對象（集合B）——確定分類標準（集合B元素的個數(shù)）——逐類討論（空集，單元素集，雙元素集）——歸納總結(jié)（所有的情況合并得出m）.對所求的m不能統(tǒng)一進行研究，變換命題的形式分析集合B，然后再分類，最后得出m的值.此類數(shù)學(xué)問題的每一步轉(zhuǎn)換，都遵循著分類思想方法“總——分——總”的規(guī)律.通過這類數(shù)學(xué)問題的解決，會避免分類中重復(fù)和遺漏的現(xiàn)象，學(xué)生能夠領(lǐng)悟分類的魅力.

5.整合知識，提煉分類思想

數(shù)學(xué)思想方法隸屬于中職教材，融合和隱藏于數(shù)學(xué)知識體系中.因此，根據(jù)中職生思維特點和認知水平，當(dāng)教學(xué)中涉及分類思想時要在整合數(shù)學(xué)知識過程中提煉分類數(shù)學(xué)思想，引導(dǎo)學(xué)生從分類數(shù)學(xué)思想的高度去總結(jié)、歸納、深化.對于最常見的分類思想，可從生活現(xiàn)象中的分類遷移到數(shù)學(xué)中的分類，遵循循序漸進、逐步滲透、螺旋上升的原則，適時歸納一些常見的分類思想方法和分類的一般步驟，從而有助于學(xué)生形成良好的認知結(jié)構(gòu)和有助于把這種分類思想遷移到以后的工作生活中去，真正達到我們教數(shù)學(xué)，學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)的目的——學(xué)好數(shù)學(xué)知識點，更要培育理性精神和掌握數(shù)學(xué)思想方法.