淺談如何培養尖子生

竇本旺

【摘要】 尖子生，顧名思義，就是成績拔尖的學生.平時學習中尖子生的一個重要體現是在解題能力上，教師在教學中如何培養學生的解題能力？運用轉化與化歸數學思想來解決問題是一個常用的思路，這就要求教師要注意解題教學的安排，可見教師引領的好壞決定了一名學生能否成為尖子生的可能性.

【關鍵詞】 培養;尖子生;能力

1. 嚴格要求，培養學生堅強的意志品質

這是成為尖子生的一個必要條件. 學生要經得起挫折，看到不會做的試題，要有戰勝它的決心和毅力，百折而不撓，抓已知，審條件，深聯想，愈挫愈勇， 直至問題的解決.

2. 合理引導培養學生自學、總結、反思的能力

這是成為尖子生的基石.新課標提倡學生自主學習，自我反思，自我總結.既要通曉高中數學全部教材的知識內容，給予必備的知識儲備，又要通曉知識間的橫向聯系與縱向聯系，更要在知識的交匯處發散自己的思維.如指數與對數、指數函數與對數函數、等差數列與等比數列等的橫向聯系，平面幾何與立體幾何、函數與導數等的縱向聯系，向量與三角函數、框圖與數列等的交匯處的聯系.教師不僅要會解題，更要會改、編一些數學試題來增加學生的數學視野.

3. 教師的提問要有藝術性

這是學生是否成為尖子生，教師的提問最能體現教師的橋梁和紐帶作用. 下面以2014年宿州市第一次質量檢測的一道學生解答受阻的試題，來體現教師提問時，對學生的橋梁和紐帶作用.

設函數f（x）在R上的導函數為f′（x），且2f（x） + xf′（x） > x2，下面不等式在R上恒成立的是 （ ? ? ?）.

A. f（x） > 0 ? ? ?B. f（x） < 0 ? ? ?C. f（x） > x ? ? ?D. f（x） < x

解答完畢后，培養了學生的類比與歸納的能力，留給學生充分的探索欲望，從而圓滿完成本題所要解決的任務，為尖子生的培養建了一座質量上乘的橋梁.

4. 充分利用一題多解，培養學生思維發散、等價轉化的能力

這是成為尖子生的訓練場.下面以2014年高考新課標卷文21為例來給與說明.

（2014年高考新課標卷文21）已知函數f（x） = x3 - 3x2 + ax + 2，曲線y = f（x）在點（0，2）處的切線與x軸交點的橫坐標為-2.（1）求a值;（2）證明：當k < 1時，曲線y = f（x）與直線y = kx - 2只有一個交點.

解法一（官方解答）：（1）易求得a = 1.

（2）由（1）知f（x） = x3 - 3x2 + x + 2.

設g（x） = f（x） - kx + 2，即g（x） = x3 - 3x2 + （1 - k）x + 4.

由題設知1 - k > 0.

當x ≤ 0時，g′（x） = 3x2 - 6x + 1 - k > 0，g（x）單調遞增，

又g（-1） = k - 1 < 0，g（0） = 4，

所以g（x） = 0在（-∞，0]有唯一實根.

當x > 0時，令h（x） = x3 - 3x2 + 4，則g（x） = h（x） + （1 - k）x > h（x），h′（x） = 3x2 - 6x = 3x（x - 2），則h（x）在（0，2）單調遞減，在（2，+∞）單調遞增，所以g（x） > h（x） ≥ h（2） = 0，即g（x）在（0，+∞）上沒有實根.

綜上g（x）在R上有唯一實根，所以k < 1時，曲線y = f（x）與直線y = kx - 2只有一個交點.

這種解法顯然在x > 0構造不易想到，能不能讓學生轉化成我們熟悉的分離參數呢？于是可得解法二和解法三.

解法二（分離參數）：（1）略.

（2）依據題意，本題可轉化為：當k < 1時，方程x3 - 3x2 ?+ x + 2 = kx - 2只有一個根.

① x = 0時等號不成立;

② x ≠ 0 時，分離變量得：

k =

令g（x） =

所以g′（x） = .

當x < 0時，g′（x） < 0，所以g（x）在（-∞，0）遞減;

當0 < x < 2時，g′（x） < 0，所以g（x）在（0，2）遞減;

當x > 2時，g′（x） > 0，所以g（x）在（2，+∞）遞增，

則g（x）的大致圖像如上圖，當x < 0時g（x）無最小值，當x > 0時，g（x）min = g（2） = 1，所以kmin = 1.所以k < 1時，曲線y = f（x）與直線y = kx - 2只有一個交點.

根據方法二，稍加變形，可得方法三.

解法三（切線法）：依據方法二，本題可轉化為：當k < 1時，方程x3 - 3x2 + x + 4 = kx只有一個根.

令y1 = kx，y2 = x3 - 3x2 + x + 4，如圖，設曲線y2過（x0，y0）的切線為y1 = kx，利用導數知識可得

3x02 - 6x0 + 1 = kkx0 = x03 - 3x02 + x0 + 4

得2x03 - 3x02 - 4 = 0，

所以x0 = 2，y0 = 2，

從而得k = 1.

所以k < 1時，曲線y = f（x）與直線y = kx - 2只有一個交點.

讓學生仔細觀察方程x3 - 3x2 + x + 2 = kx - 2，易知直線y = kx - 2恒過（0，-2），從而根據方法三可得解法四.

解法四（切線法）：因為本題可轉化為：當k < 1時，方程x3 - 3x2 + x + 2 = kx - 2只有一個根.

令f（x） = x3 - 3x2 + x + 2，

由直線y = kx - 2恒過（0，-2），

過點（0，-2）可求得f（x） = x3 - 3x2 + x + 2圖像上的切線的斜率為1，如圖，數形結合，當k < 1時，y = f（x）與y = kx - 2只有一個交點.

著名數學特級教師周沛耕曾說過：“學數學有兩個層次：聽懂別人的話只是第一個層次，而悟出，才是第二個層次.”教師在教學中，首先要勤于鉆研業務，熟悉知識內在的脈絡和聯系，對問題和教學要有一個宏觀的把握.培養尖子生是一個循序漸進的優化過程，不能一蹴而就，課堂中的解題教學對尖子生的培養只是其中一個方面，重要的是讓學生慢慢體會到解題的三個層次：“想轉化”“能轉化”“轉化對”.哪怕碰到再難的試題，我們的學生也會知難而進，分析探索.