《高等數學》課程中若干思想方法的滲透

魯翠仙

【摘要】在高等數學教學中滲透數學思想方法，可以使學生掌握數學知識的同時掌握繼續學習的方法，從而提高學生的數學能力、可持續發展能力、終身學習能力和創造力，使他們受益終身，本文給出在高等數學教學中滲透的數學思想方法.

【關鍵詞】高等數學;教學;數學思想方法;滲透

【基金項目】本文系2013年校級科研課題“臨滄師專高等數學教學改革與實踐探討”的階段性成果

一、數學思想

數學思想、方法是數學的靈魂，是開啟數學知識寶庫的金鑰匙，是層出不窮的數學發現的源泉.可以說數學的發展史是一部生動的數學思想的發展史，它深刻的告訴我們：數學思想、方法是數學的本質，它為分析、處理和解決數學問題提供了指導方針和解題策略.

二、《高等數學》課程中的若干思想方法

1.抽象性的思想方法

從具體到抽象是高等數學發展的一個重要思想之一，具體的實例是抽象思維的源泉，高等數學中的級數、多元微積分、隱函數、反常積分與含參變量的積分、重積分等都是比較具體的，但其中很多概念還是比較抽象的，比如我們要解決何謂瞬時速度及怎樣求出瞬時速度這兩個問題，先引出：V=limΔt→0ΔSΔt，其次我們引出了導數的定義式f′（x）=limΔx→0fx+Δx-f（x）Δx，從這些具體的對象出發形成了一般的對象.通過對高等數學中概念抽象思維方法的學習和掌握，有利于培養學生的抽象思維能力，也正是學科的嚴謹抽象性，才客觀、正確、深刻地反映事物的本質和自然屬性，學生只有熟悉、接受和深刻理解這種抽象，他們的思維才會發展起來，實際問題才能得到解決.

2.辯證思維的思想方法

世界是遵循不以人們意志轉移的辯證規律發展變化的，數學又是關于現實世界空間形式和數量關系的科學，因此它必然充滿辯證的思想.在高等數學課程中將教材與辯證的思想方法有機結合，無疑大大的提高了教師的教學質量和學生的素質.有限可以窮盡，無限是由無數個有限構成，無限不可窮盡，無限只有通過有限來存在，在高等院校高等數學中凡與無限相關的概念，都是有限與無限對立統一的反映，要認清其中的概念及其本質.另一方面數分中常量與變量，為了計算定積分，首先引進變上限的定積分∫mnf（x）dx是f（x）的一個原函數（即把轉化變量）然后用它的一個原函數在點n，m處值的差計算，這個過程也就是常量與變量的辯證關系.

3.轉化與化歸思想方法

將難以解決的問題及未知的解法，通過類比、觀察分析、聯想等思維的過程，選擇應用恰當的數學方法進行變換、化歸為已知知識范圍內易解決或者已經解決的思想叫做轉化與化歸的思想，它是數學中最基本的思想方法.函數與方程，數形結合都是轉化與化歸思想的具體體現，待定系數法、分析法等都是轉化的手段，將抽象的問題轉化為直觀、具體的問題，將難解和不熟悉的問題轉化為已經解決或熟悉的問題，將實際問題轉化為數學問題的解決方法，將一般轉化為直觀特殊的問題，將復雜轉化為簡單的問題，都是轉化與化歸原則.在講授定積分在幾何上的應用時，我們應該始終抓住分割、取近似、求和、取極限這四個步驟，將這些物理量和幾何量轉化為已知函數在某個區間上的和式極限，通過計算積分值得到所求的量.

4.公理化的思想方法

數學理論體系當中，盡可能少地選取不加證明的公理和原始概念，以此為出發點，利用邏輯的推理法則，在此基礎上建立成一個演繹系統的方法，就是公理化方法.在數學史上，利用公理化的思想對公理化系統進行邏輯的推理、演繹以及進一步的抽象概括，實現對公理化系統進行改造，使其完備化，高等數學的理論系統就是建立在公理基礎上的邏輯演繹的科學理論體系.公理化的思想方法具有總結、分析知識的作用，可以把零散的數學知識用邏輯鏈串聯起來，使之完整，讓人易掌握，更便于應用，在教學中加強公理化思想方法的教育，培養了學生的求實精神，并激發他們對簡潔美、抽象美以及統一美的追求.

5.數學建模的思想方法

數學建模如果一定要下一個定義的話，可以說它是一種數學的思考方法，是“對現實的現象通過心智活動構造出能抓住其重要且有用的特征的表示，常常是形象化或符號的表示”，從科學、工程、經濟、管理等角度看數學建模就是用數學的語言和方法，通過抽象、簡化建立能近似刻畫并“解決”實際問題的一種強有力的數學工具.數學應用題就是最簡單一類數學建模問題，涉及了數學建模思想方法的一般過程，而高等數學課程的各個章節的理論學習之后，都有一些實際應用題，我們要引導學生加以分析，解決實際問題.這樣既讓我們的學生了解數學建模的方法步驟，也能體會到數學在解決實際問題中的重要作用，同時貫徹了理論中與實際問題相結合的原則并培養提高了學生分析和解決問題的能力.

6.數學語言和符號的思想方法

高等數學由于其學科的特殊性，使它具有含義精準、詞語豐富、邏輯嚴謹的語言符號.數學的語言和符號為科學研究提供了精準簡潔的形式化語言，每一種數學思想和方法都是數學家經過數學或其他學科的具體問題抽象概括為“純粹”的數學語言符號，借助于已知數學知識和方法進行分析、運算和推導，獲得重要的啟迪和認識，然后再將這些結果返回到數學的相關問題中，比如《高等數學》中的二重積分、定積分、導數等等就是把曲頂柱體的體積以及物理學中的非勻速直線運動，變力所做的功，幾何學中曲邊梯形的面積，平面曲線切線的斜率這些“純粹”的數學語言和符號，通過各種數學的量，量的關系以及變化之間進行一系列的推導演算，獲得的一些重要的結果.也正是由于其抽象概括和分析，推導的過程中沒有客觀事物的任何本質屬性，所得的結果適用于一切具有共同前提的所有問題中，它不僅簡明扼要，而且表達的內容深刻，是其他任何語言都無法取代的，在教學過程中，學生要深刻理解，并懂得數學語言并學會把問題用數學的語言和符號表達出來，然后再求解.

7.有限到無限的思想方法

高等數學課程中數列的極限集中體現了有限與無限的思想，在引出這一概念時，數學家劉徽利用了割圓術，而劉徽則說：“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體而無所失矣”，他們使用了極限的思想方法來解決了數學中的問題.定積分的概念也是通過不規則曲邊梯形的面積引入的，在此過程中，我們利用了對曲邊梯形的面積的形象思維，從中抽象出每一個小曲邊梯形的面積可以通過矩形面積近似計算，從而推廣到無限個的情況，從中我們深刻體會到“無限細分，無限求和”這一數學思想.只有這些數學思想的滲透，學生才能深刻地對數學有更深層次的認識，才有在學習二重積分，三重積分時的迎刃而解，而且以后雖然用不到這些具體的數學知識，但這種數學的思想方法仍會根深蒂固，指導了學生思考其他的學科問題，同時讓學生感受到了數學美.

8.換元的思想方法

所謂換元思想即是把某些代數式看成一個新的未知數來實現變量的替換，其本質也就是實現轉化，通過轉化能夠實現化難為易，化繁為簡，化陌生為熟悉.

例 計算以圓域D：x2+y2≤a2為底，D上的曲面是z=e-x2+y2的曲頂柱體的體積.

分析 本題如果直接在直角坐標系下化為累次積分計算，就不能用積分的基本公式積出，所以必須另辟蹊徑，采用換元思想求解.

解 已知曲柱體的體積v=De-x2+y2，

在直角坐標系下，D={（x，y）x2+y2≤a2}，設x=rcosθ，y=rsinθ;它將圓域D：x2+y2≤a2變換為D0≤r≤a，0≤φ≤2π

在極坐標系下;D={（x，y）|0≤r≤1，0≤θ≤2π};且（x，y）rφ=r

由公式可得：

v=De-x2+y2dxdy=De-r2rdrdφ=∫2π0dφ∫a0e-r2rdr=2π-12e-r2a0=π1-e-a2.

9.極限的思想方法

所謂的極限思想就是用極限的概念來分析和解決問題的一種數學思想，如圓是曲邊形，它的內接正多邊形是直邊行，二者有著本質的區別，但這個區別又不是絕對的，在一定條件下，圓的內接多邊形能夠轉化為該圓周，這個條件就是“當圓內接正多邊形的邊數無限增加時”， 即注意“無限”二字，因此在無限的過程中直邊行轉化曲邊形，即在無限的過程中，由曲邊形的周長數列得到了該圓的曲邊周長，這就是極限的思想和方法在定義圓周長上的應用.《高等數學》就是以極限概念為基礎，極限的理論為主要工具來研究函數的一門學科.初等數學和高等數學有著本質的區別也體現在數學方法的改變，而這種改變也就是引入了極限的思想，把原本“靜止”的東西轉化為“運動”的知識，這樣思考問題解決問題的方法沒有變，但數學的思想方法已經變化了.

10.導數的思想方法

導數是微積分學的核心概念之一，是一種重要的數學思想方法，把它運用于求變速運動的瞬時速度及求曲線上某一點處的切線得斜率，兩類問題都可以歸結為變量變化的快慢程度.牛頓和萊布尼茲分別從兩個問題出發，給出了導數的概念以及用導數的運算處理函數性質的一般性，把運算引用于導數，可使我們擴展知識，感悟數學，而且這些方法是全面研究微積分的重要方法和理論工具，它應用于生活的各個領域.

11.數形結合的思想方法

著名數學家拉格朗日指出：“只要代數和幾何分道揚鑣，他們的進展就緩慢，它們的應用就狹窄，但是當這兩門科學結合成伴侶時，它們就相互吸取新鮮的活力，從那以后，就以快速的步伐走向完善.”數和形作為數學的兩個基本對象，是現實世界的數量與空間形式的反映，在解析幾何學中二者達到了有機的統一.這種統一曾為微積分、近世代數、泛函分析等學科提供了必要的工具.在《高等數學》中，要有意識地賦抽象概念以直觀的“形態”與現實背景，注重形象思維的訓練，強調數的本質與形的直觀相結合，對有明顯幾何意義的概念，一定要結合圖形講解，使學生易接受，記憶深刻，靈活自如的運用，如在講解函數極值時，要引導學生想象平面的曲線，三維空間曲面上的點，利用多媒體技術將數學語言、符號、圖形、動畫及視頻有機結合，增強學生的直觀性，生動性和創造性.

12.對稱性的思想方法

《高等數學》以它簡潔的思維、嚴謹的論述以及符號化的技能技巧、形式的對稱等給人以美學的感受，其中的“對稱”在幾何圖形中，有點的對稱，線的對稱以及面對稱等，規則的球面，則即是關于點的對稱，又是關于線的對稱，還關于面的對稱，所以，它顯得更美，點、線、面的這種幾何對稱性，給我們以美的感受，更重要的是這種幾何對稱性體現在函數中的“變量”的某種對稱，對論證以及計算將帶來更大的方便，利用奇偶性作圖，函數的奇偶性與區域對稱性來計算各種積分，利用函數的對稱性來求導數，《高等數學》中的另一種形式的對稱.運算符號的對稱性與運算法則的對稱性，這種形式的對稱，不僅帶來了計算的方便，且給人以思維的啟迪，使我們產生聯想，促進我們創造性思維的發展.

13.算法化的思想方法

算法化的思想是指把同類問題的解決方法整理成可機械化操作的有序解題步驟，對于高等師范生滲透算法化的思想有很重要的意義，算法化的思想廣泛應用于現實世界中的各個方面，提高了人們的生活質量以及各個行業的生產效率.其次算法化的思想解題方法要求操作者嚴格執行每一個步驟，最終得到答案，訓練了學生的一絲不茍的認真精神.

三、結束語

高師院校的數學教育教學的過程中要加強對學生數學思想方法的滲透，不僅有利于激發學生的數學知識的探索，學習，追求的興趣，也有利于提高學生的數學思維品質，學習能力，分析能力與創新能力的綜合素質，且對提高學生的就業競爭力，也為日后的終身學習做長遠的發展夯實基礎.

【參考文獻】

[1]王慶.重視數學思想方法教學提高數學課程教學質量[J].高等數學研究，2008（1）：66-67.

[2]解恩譯，徐本順.數學思想方法[M].濟南：山東教育出版社，1989.

[3]米山國藏.數學的精神，思想和方法[M].毛正中，吳素華，譯.成都：四川教育出版社，1986.