漫談數學有何特點

趙登虎

【摘要】本文概括了數學內容抽象性、思想辯證性、語言符號性、推理嚴密性和應用廣泛性五個特點，通過研究數學的特點有助于我們更好了解數學及應用數學.

【關鍵詞】抽象性;辯證性;符號性;嚴密性;廣泛性

聯合國教科文組織確定的七大基礎學科之首是數學，克勞塞維茨在《戰爭論》一書中指出戰爭的五大要素中數學就是其一，說明數學的重要性！數學是研究數量關系或空間形式的科學，是刻畫自然規律和社會規律的科學語言和有效工具.數學有何特點呢？通過研究數學的特點有助于我們更好了解應用數學.

一、數學內容的抽象性

唯物辯證法認為，客觀世界的任何事物都是質和量的統一體.數學也不例外，她是為了從純粹的數量關系或空間形式去研究、反映客觀世界，就不得不把事物具體的內容暫時拋開，僅僅保留“數”和“形”及其聯系，這就決定了其內容具有高度抽象性特點.恩格斯指出的，數學“為了能夠從純粹的狀態中研究這些形式和關系，必須使它們完全脫離自己的內容，把內容作為無關重要的東西放在一邊”，而“以極度抽象的形式出現”.隨著數學的發展，它的原理、概念越來越概括，結構越來越嚴密，體系越來越濃縮，從而使它越來越抽象.例如，在數的概念的擴充中，引入負數建立有理數概念，引入無理數建立實數概念，引入虛數建立復數概念等.

二、數學思想的辯證性

恩格斯指出：“數學是辯證的輔助工具和表現方式”，“變數的數學……本質上不外是辯證法在數學方面的運用”.這就是說，在數學中辯證法表現的比較充分、豐富，比較典型、深刻.首先，在數學中，矛盾的辯證法是極其豐富的.馬克思主義哲學告訴我們，對立統一規律，即矛盾辯證法是辯證法的實質和核心.用這個觀點觀察數學就容易發現，整個數學，處處都有典型的、深刻的矛盾辯證法.例如，在我們要學習的微積分中，除了自始至終貫穿著微分與積分的矛盾外，還有常數與變數的矛盾等等.可見，沒有矛盾就沒有數學;否認了矛盾，也就否認了數學.其次，數學體現辯證法的特點比較典型.恩格斯所說，辯證法是“關于普遍聯系的科學”，數學則非常典型的體現辯證法這個重要的特征.學數學，前面的內容不學，后面的內容就無法學.用公理方法建立的數學體系，猶如積木，它一級一級，逐級往上;它一層一層，層次清楚;它一環扣一環，環環扣的很緊;它的每一個概念、原理和命題，都是一個有機體中不可缺少的組成部分;我們無論抓住那一個環節，就可以順藤摸瓜，往前，能追溯到它的出發點，往后，能推導出整個體系.

三、數學語言的符號性

全面而又系統地使用符號，是數學又一顯著特點.數學不僅有數字符號和運算符號，而且有一系列的關系符號;不僅有許許多多的專用符號，而且有許多輔助符號.伽利略說：“宇宙這本書是用數學語言寫成的.除非你首先學懂了它的語言，否則這本書是無法讀懂的”.愛因斯坦說：“牛頓第一個成功地找到了一個用公式清楚表述的基礎，從這個基礎啟發他用數學的思維，邏輯地、定量地演繹出范圍很廣的現象并且同經驗相符號”.數學語言之所以需要符號，是因為： 一是計算的要求，數學雖然不等于計算，但是數學有相當一部分內容離不開計算，要計算，不僅需要計算的工具，而且得有計算的符號.二是邏輯推理的需要，因為數學除了作計算以外，還作邏輯推理.要對抽象的概念、命題和關系作由此及彼的推理，就不得不用符號去表示他們，否則邏輯推理無法生行，從而不可能有數學理論.三是數學形式簡化的最好途徑.數學作為工具，當然越簡單明了，越能使人容易掌握越好.

四、數學推理的嚴密性

列寧指出：“任何科學都是應用邏輯”.如果說任何一門科學都離不開邏輯，那末數學則更是使用邏輯的典型.清數學家李善蘭：數學是“由易而難，若階級之漸升”.我們知道，一個數學命題，它在數學中能否成立，并不是取決于實驗證明，而是取決于邏輯推理.但作為數學中的命題，必須是用邏輯論證方式嚴格地證明了的時候，才能在數學中成立.因為：一是數學高度抽象的原故;二是數學中不少命題的提出，只能用邏輯論證的方法證明它們成立，則成為數學中的定理;三是嚴格的邏輯論證，也是保證數學命題正確的方法;四是嚴格的邏輯論證，常常可以獲得一些在實踐中尚未提出的問題，使數學走在實踐的前面，為實踐開辟道路.這是數學發展不可缺少的手段.

數學嚴密的邏輯論證結果，使它的結論極為確定，主要表現在：數學由證明（包括計算）得出的結論總是確定的;凡是數學中的定理，全是靠得住的，令人非常信服的，數學中的一切結論，并不因數學的發展而過時.

五、數學應用的廣泛性

數學應用廣泛性是它的第一個特點高度的抽象性的邏輯結果.越是抽象的東西，應用越廣泛.拿破侖 ：“數學的發展與至善和國家的繁榮昌盛密切相關.”愛因斯坦說：“只有微分定律的形式才能完全滿足近代物理學家對因果性的要求，微分定律的明晰概念是牛頓最偉大的理智成就之一”.數學應用范圍僅僅次于哲學.根據馬克思的思想，任何“一門科學，只有當它達到了能運用數學的時候，才算真正的發展了.”所以用數學去武裝各門自然科學和各種技術科學，是這些科學向更高階段發展所必需的.在科學發展史上，數學是由實驗科學進入理論科學所必須的工具，比如，牛頓把他的微積分方法應用于研究力學，使力學面貌為之一新.今天高度發展的數學已經開始深入到各門科學領域，開始了科學數學化的新時代.

【參考文獻】

[1]趙樹嫄.微積分[M].北京：中國人民大學出版社，2007.