初等數學的價值觀

陳善

【摘要】提出初等數學的價值觀.通過對初等數學形式邏輯的討論啟發認識.感悟初等數學創新的思考方法對現實社會的經濟價值.把數學推向實用，把形式邏輯推向辯證邏輯，從而提升初等數學創新的思考方法對現實社會的普遍價值.

【關鍵詞】初等;數學;價值;辯證

一、數學價值

數學是用形式邏輯來研究空間變化的.數學家從定義，公理出發，通過形式邏輯建立數學理論.由于形式邏輯很抽象，尤其是復雜數學的形式邏輯，看不出巧妙的思考方法，所以要運用數學理論創造現實經濟價值是很困難的.

事實上，數學的現實經濟價值通常是靠競技表現的.優勝者可以獲得競技獎勵.國際奧數競賽，如果中國的學生成為冠軍，那就可以獲得國際獎勵.國內外的數學家研究某個世界難題，如果國內的學者證明這個難題，那就可以獲得國家獎勵.這就是數學的現實經濟價值.如果不靠數學競技獲得獎勵，那是很難從另外的途徑獲得現實經濟價值的.

我發現國內有很多學者宣稱用初等巧妙方法證明了數學難題.同時又抱怨不能得到承認，不能獲得獎勵.我對這些初等數學方法有興趣，尤其是初等數學原創.通過初等數學原創感悟巧妙的方法.阿基米德說：給我一個支點就可以橇動地球.這個支點就是巧妙方法.如果沒有發現這個支點，那用很大的力量都是不管用的.

我所說的初等數學的價值，就是巧妙方法的價值，也就是創新思想的價值，并不是得到獎賞.如果能用巧妙的初等方法證明數學難題，那么也可以啟發用低級巧妙方法創造巨大的經濟價值.這就是我所說的初等數學的價值觀.

二、轉變調皮學生惡行

偶然的機遇，我發現初等數學的好處.文革時期，我到外地無證售貨拘留3天.貴人相助，我從拘留所放出來.后來又遇到一位貴人相助，推薦教書.那時教員的待遇很糟糕，調皮學生向老師背后扔水饅頭，也就是用水泡過的饅頭.我用初等數學巧妙的轉移了調皮學生的惡劣行為.

我對調皮的學生說：看得出來，你很有數學天賦.調皮學生很是得意.我就提出三等分角的問題.我說，作出三等分角可以獎勵10萬元.這名學生說：我作出來啦！那名學生也說：我也作出來來啦！我總是說：你很有數學天賦.其實都是錯誤的.

后來，我發現，操場壩的地上都有三等分角的痕跡.那些調皮的學生干得歡.學生的破壞型熱情，轉變為建設型熱情.這就是初等數學的好處.我以為，如果學校出現一個壞學生，不都是學生的問題.老師有責任啟發認識，把學生的破壞型熱情，轉變為建設型熱情.

三、數學創新啟迪生意

現在很多人樂于生意的創新，卻不喜歡數學的創新.認為數學創新對于現實經濟沒有什么價值.總不能把數學定理拿到市場上賣吧.不能這么說.我發現數學創新，可以啟迪生意創新.數學講邏輯.生意也講邏輯.

你不喜歡吃虧，你就要吃虧.你喜歡吃虧，你就不吃虧.還有推論：大家都不喜歡吃虧，大家都吃虧.大家都喜歡吃虧，大家都不吃虧.松下電器公司總裁就喜歡吃虧.在創業初期，東京有個電器公司拍賣200萬，松下幸之助給300萬.這個事情傳播開以后，客戶都覺得購買松下公司的電器是不會吃虧的.松下公司的生意就好做啦！國內有個企業家叫馬云.是《福布斯》雜志創辦50多年來成為封面人物的首位大陸企業家.馬云以195億美元成為中國內地新首富.馬云從小就是一個喜歡吃虧的傻娃.小時候愛打架，打了無數次的架，沒有一次為自己，都是為了朋友義氣打架.挨很多打，縫過13針，受過處分.所以，大家都覺得與馬云結盟肯定是靠得住的.馬云的生意肯定好做啦！

四、數學的理論與實用

1982年，馬云第一次考大學落榜.1983年，馬云再次落榜.1984年，勉強被杭州師范學院以專科生錄取.馬云考大學數學第一次考了1分.這說明什么問題呢？說明數學考試難.現在的數學考試可能淘汰像馬云那樣優秀的實干人才，而且讓學生誤認為不需要學習數學也能創造巨大的經濟價值而讓許多人淡漠對數學的熱情.越來越多的學生就覺得數學沒有價值是個累贅而不感興趣.如果這個趨勢不能得到改善，數學就有可能成為科學世外桃源奢侈品而降低其對現實經濟應有的價值.

怎么辦呢？那就是改變數學復雜深奧的現狀，讓數學淺顯初等，讓大家都喜歡數學.如果像馬云那樣的學生都對數學感興趣，那么創造的經濟價值可能還要大得多.淺顯初等的數學才能普及到民眾，才能最廣泛的把數學推向實用，從而最大限度創造經濟價值.在此，不妨引用臺灣中央研究院數學所黃武雄先生的“數學的理論與實用”里的部分論述：

近幾年來，“數學邁向實用”的呼聲此起彼落.且正激烈在沖擊有關數學圈的每一個角落;從國科會到研究室，從研究室到課堂，從課堂到考場，甚至于在餐廳冷飲的閑聊場所，我們看到，每年數學研究費的申請都積極在鼓勵與經建配合的研究方向，每學期數學系學生的選課單都一窩蜂填滿形形色色應用數學的課程，每次數學教學課程大綱在會議桌上一被提了出來，必然要再三強調數學教材內容的實用性.“數學實用化”浩蕩聲勢，正以排山倒海而來，任何個人都無法抗拒.數學圈閉門造車“為數學而數學”的時代要改變了.我們不禁會想：數學發展有這么久時日了，“數學邁向實用”是今天才有的主意？究竟是幾千年來大家都視而不見，一直喊不出這番口號？抑或廿世紀的七十年代有著什么特殊的背景，使我們覺醒，開始認清如此一個簡單易明的事理：“數學要實用”？雅典時期的競智數學，不刺激數學實用的發展，三等分角懸決千年的緣故，是因為它不重要，因為它只是有閑階級的主觀產物，因為它是出于柏拉圖學派作繭自縛，硬要限制標尺作圖的競智心理（柏拉圖卻美其名為 “上帝作圖法”）.三等分角自提出到解決，間隔兩千多年.扮演兩千多年游戲人間的無聊角色.正當多少人耽迷于數學文字游戲的時候，始終仍有一些明智之士不斷在喚醒數學理論取諸自然還諸自然的正確里程.1965年以后，投入越戰的巨大消費結束美國戰后的黃金文明，“為數學而數學”的風尚為情勢所迫，才逐漸沒落.1962年有一篇轟動一時的退休講演，題為《偏窄的數學家》在糾正當時數學教育偏狹的弊端，并且指出“我們鼓勵將教材重新組成易于理解的數學構造，并從事于數學應用的現代化，已獲得相當程度的成果.我們不能否認在數學實用的方向上，某些特殊時代曾出現過偏差，某些數學家認識不清而在“為數學而數學”的象牙塔里迷失.我們不能贊同某些數學家為要持續自己的迷失，所叫出的托詞：“今天這些數學理論，誰能擔保那天不會變成有用？曾有一位塑膠制品的廠商來找過我，提起他要外銷塑膠花球的問題.這是一個實用問題，但問題的解決方法早在幾個世紀前就寫在一般理論數學的書上.換句話說，他所要的答案，今天已寫在高中數學的教科書上.他大學畢業.在大學教書，我接觸很多各系的學生，也常發覺一些讀過很多高深應用數學課程的學生甚或研究生，碰到一個實際的問題，束手無措.追究他的困難，竟然只因他對于早已學過的高中數學的方法，未窺其義.

可以想見，我們“設計”再多的實際問題，寫在黑板，仍無法概括一名學生以后可能面臨的實際問題，除非我們深入地教導學生前人遺留下來的基本思考方法.

黃武雄先生說到數學實用的關鍵問題：基本思考方法.也就是數學家初期的思考方法.這是在形式邏輯和結論之外的思考方法.很多人只看重形式邏輯和結論，卻忽視數學家初期的思考方法.正如很多人只看重公司運作和鈔票，卻忽視企業家初期的思想策略.數學家初期的思考方法，其實就是創新的思考方法.這是書本上沒有的，也不是預期的.是在數學實踐中偶然感悟的.正如企業家初期的思想策略是在市場闖蕩中偶然發現的.都不是預期的.而且都是很淺顯的.說出來都能懂.然而，就是不說.為什么不說呢？因為實踐很辛苦，得來卻偶然，是很珍貴的.數學家都不喜歡顯露初期的思考方法.不但是因為初期的思考方法珍貴，而且是不成熟的.等到初期的思考方法成熟以后發表出來，卻已不是初期的思考方法.事實上，數學家初期的思考方法是隱藏的.通常所看到的只是形式邏輯和結論.即便形式邏輯和結論也有隱藏.

五、創新思考

我們討論數學課本里的一個問題.設x趨于0，我們有極限：limsinx/x=1，這是大家熟悉的.很多學生似乎都能接受.也有的愚笨學生不能接受：x=8，sin8/8≈0.017，怎么不接近1呢？因為x應該用“弧度”來計算：

x=8，弧度x=8×π/180≈0.13962634，sin8/0.13962634≈1，

x≈0.13962634，sin x 是 sin 0.13962634，為什么是 sin8呢？

因為 sin x，其中 x 應該用“角度”來計算：弧度 x≈0.13962634，角度 x≈0.13962634×180/π，sin（0.13962634×180/π）≈sin8，同一個變量x隱藏兩個含義.x是弧度，卻又隱藏“角度”計算.好在這個問題不復雜.稍微復雜的問題：弧度 x，函數f （x），sin f （x） 怎么計算呢？看來，即便是把書本的形式邏輯和結論隱藏的問題對學生講清楚都不輕松.何況數學家有所隱藏的初期思考方法.

數學家初期思考方法的價值就在于：創新的思考方法.我們要問：為什么“讀過很多高深應用數學課程的學生甚或研究生，碰到一個實際的問題”卻沒有辦法呢？因為這些學生只是讀過應用數學課程，卻沒有創新的思考方法.書本里的課程是公開的，自己懂，大家也懂，市場價值是很局限的.創新的思考方法，自己懂，大家不懂，市場價值是很大的.我們雖然難以探得數學家創新的思考方法，但是，我們可以創新自己的思考方法.創新就是辯證.創新的思考方法，就是辯證的思考方法.也就是辯證邏輯.世界就是時間與空間辯證邏輯.天體世界和人類社會有辯證邏輯.政治、經濟、軍事、科學、藝術、宗教、生活、工作等都有辯證邏輯.數學就是研究空間形式邏輯.從普遍的意義上說，數學推向實用，就是形式邏輯推向辯證邏輯.

六、勾股定理辯證邏輯

設 三角形的各邊為 a， b， c， 其中 a與 b 的夾角 90 度，有勾股定理：c² = a²+ b²，

人類發現這個規律已有幾千年.事實上，在幾百億年前早已存在這個規律.不是由于發現勾股定理，所以才存在這個規律.是由于存在這個規律，所以才能發現勾股定理.不管人發現，還是沒有發現，勾股定理都存在，從前，現在，未來都是永恒的.

我們用對話的形式討論勾股定理辯證邏輯.

甲：勾股定理是怎么創造的呢？乙：是通過人的思考創造的.對吧.

甲：不對.因為在幾百億年前早已存在勾股定理，那時還沒有地球.所以不能說是通過人的思考創造的.乙：勾股定理是幾百億年前天然形成的么？

甲：不是.天然能夠形成鉆石，卻不能創造勾股定理.乙：為什么天然不能創造勾股定理呢？

甲：因為天然沒有思維.勾股定理的創造必然伴隨思維.乙：什么道理呢？

甲：因為勾股定理是思維形態.所以勾股定理的創造必然伴隨思維.乙：鉆石和勾股定理有什么不同呢？

甲：鉆石是可以摧毀.勾股定理是不能摧毀的，用核武器也不能摧毀.這說明勾股定理不是天然創造的，是通過思維創造的.即便是提出一個學說，也要通過人的思維，何況是永恒的勾股定理吶！乙：既然勾股定理是通過思維創造的，在幾百億年前早已存在勾股定理，那么是否意味著在幾百億年前早已存在思維呢？

甲：問得好！乙：這個思維在哪里呢？

甲：人和天然之外.乙：能用邏輯推理來證明么？

甲：勾股定理是通過人的思維發現的，也必然是通過思維創造的.因為天然沒有思維，所以，勾股定理不是天然創造的.雖然人有思維，但是人又不能創造勾股定理，那么勾股定理只能是人和天然之外有思維的形態創造的.乙：這就是邏輯.

甲：這和證明素數有無窮多個是相同的邏輯.如果一個合數不能被有限素數序列整除，那么在有限素數序列之外，必有素數.乙：如果人和天然不能創造勾股定理，那么在人和天然之外，必有思維.

我們也可以用辯證邏輯證明哲學的難題.限于篇幅，這里不作討論.