如何運用一元二次方程解應用題

鄧梅

【摘 ? ?要】運用一元二次方程解決應用題往往是在初中數學試卷中作為應用題出現的，而這類題目往往也是學生最頭疼的題目之一。題目信息量大，不知道怎么列方程式，解方程式的過程復雜又困難，這些問題常常是學生丟分最嚴重的問題。本文就如何運用一元二次方程解應用題做出討論。

【關鍵詞】初中數學 ?未知量關系式 ?細心

中圖分類號：G4 ? ?文獻標識碼：A DOI：10.3969/j.issn.1672-0407.2015.05.178

初中數學是中考中的巨頭學科，也是整個中學數學的基礎。常規的數學試卷中，往往最難的一道題目就是利用一元二次方程解應用題，這類題目也常常作為初中數學試卷中最難的壓軸題目出現。大部分學生都把一元二次方程視為攻克數學最大的障礙，尤其是與信息量大的生活類應用題結合在一起的時候，學生更是加大了對這類題目的恐懼心理，咬牙切齒卻又無濟于事。

這類題目的解決其實并沒有捷徑，但是也是有規律可循的。這類題目的邏輯性往往很強，因而只要掌握了解決這類題目的常規思路，就可以輕松運用一元二次方程解答應用題了。

一、找出題目關鍵詞，設出未知量

運用一元二次方程解答應用題時，最關鍵的一步就是設對未知量。然而應用類題目往往是文字多，信息量大，提取關鍵詞的過程往往會比較困難。尤其這類題目常常出現在整份試卷的最后，時間緊張，學生一看到這么多文字，很難用心去讀，草草一讀，卻發現什么信息都沒有獲得，于是整個人都慌了起來，這種狀態最不利于答題了。

老師可以先從心理上安慰學生，讓學生能夠沉著、冷靜地解答題目。老師應該教導基礎相對薄弱的學生不要太看重時間，因為基礎相對薄弱的學生很容易緊張，本來就不能高效率地做完一份試卷，如果又因為太看重時間而產生緊張的情緒，就更不利于發揮，拿到的分數一定比預想的還要低。老師要撫慰學生，要讓他們保持平靜的心態去面對最后一道一元二次方程的應用題。老師要教導學生仔細讀題，即使剩余的時間很少也足夠他們設出未知量，寫出一些基礎性的步驟，對于這種壓軸的應用類大題，往往是按步驟給分的，只要寫出一些關鍵的步驟，就可以拿到分數的。然而如果學生因為太看重時間而產生緊張情緒，往往不能迅速找出關鍵詞也就不能正確的設出未知量，導致基礎步驟的分數都拿不到，分數自然不會太高。

大部分運用一元二次方程解答的應用題，未知量的設定往往隱藏在問題中。這類題目的關鍵詞一般就是問題中要求的某個未知量，學生必須瞪大眼睛，保持沉著、冷靜的心態來尋找題目要求的未知量是什么，然后迅速寫出假設，解答此類應用題的第一步才算是完成了。

二、尋找未知量與已知量的數學關系，列出方程式

無論是一元二次方程式還是二元一次方程式，都需要找出未知量與已知量的關系，然后根據這個確定的關系，列出方程等式。作為初中數學試卷上要運用一元二次方程來解答的應用題，關鍵一步就是要利用已知量與未知量之間的關系，列出方程式，才能進行下一步的解答。

學生普遍反映，找出未知量與已知量的關系，并且列出方程式這一步，對于他們來說是最難攻克的一關。其實不然，應用題顧名思義是一種現實中具有應用性的一類題目，往往是蘊含著很多的生活經驗。老師可以教導學生根據已有的生活經驗，換一個角度來思考這類問題的邏輯性和規律性。例如，學生普遍反映最難的一類題目，即運用一元二次方程來解答拱形橋能否通過船只的問題。這種類型的題目，但從數學的角度來看，畫出拋物線對于大部分學生來說，可能很難分析出拱形橋高度與船只寬度的關系，然而老師可以教育學生，從生活的角度出發，回憶已有的生活經驗，如何設計橋梁比較合適。例如，船只要用最容易的方法通過拱形橋，只能從拱形橋的最中間位置通過，如果從拱形橋的中間將船只分成兩半，那么每一半船只的寬度都是總寬度的二分之一，船只的高度不變，這樣拿到坐標系中來看，拋物線就是一半。這樣，學生分析一半拋物線比分析一整條拋物線要容易得多。

還有一些利率類的應用題，往往需要根據已知的利率求出累計幾年的利息總量或者已知利潤求出利率。這時，學生常常會犯迷糊，弄錯利息與利潤間的關系，忘記將利息平方等等。這類題目中往往會出現很多百分數來迷惑學生，大部分學生一看到百分數就犯暈，不能理解百分數中所蘊含的深層意義。老師需要運用生活經驗來讓學生明白題目中所說的利率與利潤之間的關系，列舉銀行存錢等具體易懂的例子，讓學生逐漸掌握這種題目中所蘊含的實際意義和關系。然后利用利潤與利率的關系，列出滿足利潤與利率關系的數學表達式，即方程式。

其實尋找未知量與已知量的關系沒有學生想象的那么復雜和困難，只需要一點點的耐心和細心仔細讀題目，然后從字里行間挖掘到兩個變量之間的關系即可。列出方程關系的這一步是解題的關鍵，如果這類壓軸題目有步驟分的話，那么列出正確的方程式一定會占有很大的比例。所以老師要教會學生能夠有耐心和細心找到題目中蘊藏的變量關系，然后一舉攻破此類題目的第一道難關。

三、仔細解答，細心解出一元二次方程，分類討論

一元二次方程的解法有很多，初中階段應用類題目中所列的一元二次方程的解法相對容易一點，如果列方程式的過程比較復雜，那么相對于題目的難度來說，方程式的解法一定會比較容易一些。但仍需要學生的耐心和細心。

老師記得提醒學生，解一元二次方程最容易出問題的地方，就是檢驗階段。一元二次方程往往會有兩個解，而這兩個解卻不一定都滿足題目要求，這個時候需要學生耐著性子進行檢驗，選擇出符合題目要求的正確解。像這類應用型題目，答案往往是個正數。如果學生解答題目的過程中，獲得一元二次方程的兩個解，其中一個為負數，學生就會輕松地進行對比和處理，舍去負數的解，確定正確的答案。但是如果一元二次方程式的兩個解都是正數，那么學生就會很容易漏掉檢驗的過程，進而影響得分，本來應該得滿分的題目卻白白丟失了那些分數，著實可惜。

還有一類題目，需要畫出坐標軸和拋物線來解決，例如拱形橋與船只的問題。這類題目的坐標軸往往建立在拋物線的最大值處，這樣對于題目的處理會簡單很多。但是這種題目最后得出的數據往往是個負數，因為所求的部分是在坐標軸的負半軸，因此，老師要提醒學生千萬不要忘記將負數轉為正數，減少不必要的失分。

一元二次方程解答應用題其實并不像學生想得那般復雜，只要能夠沉下心來，認真思考題目中的關系，設出未知量，列出方程式，并且能夠細心地解出方程式然后檢驗結果，那么攻克此類題目就會變得容易很多。