從三角函數(shù)問(wèn)題的角度看構(gòu)造法

吳振奕

【摘要】培養(yǎng)學(xué)生的探索精神和創(chuàng)新能力是新課程理念的兩個(gè)重要目的.但可以用什么樣的載體來(lái)進(jìn)行培養(yǎng)？事實(shí)上，在高中數(shù)學(xué)的解題教學(xué)中大量存在的構(gòu)造法，便是一個(gè)很好的載體.在教學(xué)中，教師要研究如何引導(dǎo)學(xué)生利用構(gòu)造法解題，主動(dòng)地借助知識(shí)、方法間的橫縱聯(lián)系，創(chuàng)造性地解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，以較好地踐行新課程的理念.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；構(gòu)造法；三角問(wèn)題；遷移

所謂構(gòu)造法，就是根據(jù)題設(shè)條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系及兩者本身的“特征結(jié)構(gòu)”，對(duì)題中的條件進(jìn)行一番“加工”，去構(gòu)造滿足條件或結(jié)論的數(shù)學(xué)模型，探求出解決問(wèn)題的新途徑，使問(wèn)題的解決更加巧妙.它不但可以提高學(xué)生橫縱運(yùn)用知識(shí)解題的技巧，而且可以激發(fā)學(xué)生的發(fā)散思維，有效地培養(yǎng)學(xué)生的想象力和創(chuàng)造力.一個(gè)教師有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行創(chuàng)造性地解題，能夠激發(fā)學(xué)生更多學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生得到更深層次的理解感悟，迸發(fā)更多的創(chuàng)新意識(shí)，而且鍛煉了探索的勇氣與精神.而這正是新課程理念的重要目標(biāo)！

筆者認(rèn)為，“構(gòu)造”與其說(shuō)是一種方法，不如說(shuō)是一種意識(shí)，一種“善于聯(lián)系事物，不甘于平庸”的思維品質(zhì)！如何使學(xué)生擁有這種意識(shí)，并且強(qiáng)化這種意識(shí)？一個(gè)基本前提是：學(xué)生能夠看出或找到構(gòu)造的“切入口”.

一直以來(lái)，三角函數(shù)（恒等變換）知識(shí)在高考中一般被設(shè)置為中下難度的試題，但由于三角函數(shù)性質(zhì)和三角恒等變換形式的豐富性，很容易與其他數(shù)學(xué)知識(shí)相聯(lián)系，所以有關(guān)三角問(wèn)題的構(gòu)造性解法是大量存在的.筆者試圖通過(guò)探究若干三角函數(shù)問(wèn)題的解題過(guò)程，來(lái)思考構(gòu)造法的思維特征，尋找構(gòu)造法的切入口.下面就引用一些例子來(lái)進(jìn)行探究.

1.從代數(shù)方程的角度構(gòu)造

7.從向量的角度來(lái)構(gòu)造

向量作為一種基本數(shù)學(xué)工具，如善加應(yīng)用，往往會(huì)收到令人意想不到的效果.人教版必修4中對(duì)兩角差余弦公式的推導(dǎo)，便是應(yīng)用向量數(shù)量積來(lái)證明.再如：

例7求函數(shù)y=2-cosxsinx（0

解析本題既可用前面“數(shù)形結(jié)合的角度來(lái)構(gòu)造”，轉(zhuǎn)化為求共點(diǎn)直線系斜率的最值，也可借助輔助角公式求得函數(shù)最值.但若將函數(shù)解析式化為方程cosx+ysinx=2，等式左邊可以聯(lián)想到向量數(shù)量積的坐標(biāo)形式：a·b=x1x2+y1y2.下面我們嘗試著從向量的角度來(lái)處理：

從上面的多個(gè)視角可看出，構(gòu)造法往往來(lái)源于對(duì)不同知識(shí)形式、結(jié)構(gòu)甚至內(nèi)涵的遷移，可以說(shuō)，構(gòu)造的本質(zhì)就是知識(shí)、方法、技巧、思維模式的遷移.這種遷移是以學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的正確的理解為基礎(chǔ)的.這不僅要求學(xué)生熟練掌握高中各章節(jié)數(shù)學(xué)知識(shí)，還要有對(duì)不同知識(shí)遷移、對(duì)比的習(xí)慣.

但是，如果缺少探究創(chuàng)造的意識(shí)，構(gòu)造法便失去了其思維的基礎(chǔ)，構(gòu)造依然無(wú)法實(shí)施.傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教育強(qiáng)調(diào)知識(shí)的識(shí)記和技能的訓(xùn)練，這種教學(xué)方式容易導(dǎo)致學(xué)生解題時(shí)的功利心態(tài)，能解出來(lái)即可，哪管什么方法好不好，新不新穎！但新課程理念則要求教師不僅要傳授學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)，更要培養(yǎng)學(xué)生的想象力和創(chuàng)造力.作為教師，不僅要注重引導(dǎo)學(xué)生對(duì)知識(shí)進(jìn)行更深刻的理解，還要多進(jìn)行一題多解、一題多思、一題多問(wèn)的教學(xué)實(shí)踐，以新穎的解法誘導(dǎo)學(xué)生勇于嘗試，以鼓勵(lì)的手段引導(dǎo)學(xué)生大膽創(chuàng)新.唯其如此，才能培養(yǎng)出真正具有數(shù)學(xué)素養(yǎng)的學(xué)生.