向量方法在空間解析幾何教學中的應用

程煒

【摘要】空間解析幾何是高校教學中一門重要的數學基礎課.它的基本思想是用代數的方法來研究幾何問題.通過舉例探討了向量方法在空間解析幾何教學中的一些應用.

【關鍵詞】向量方法；空間解析幾何；應用

【中圖分類號】G642.0【文獻標識碼】A

【基金項目】河南省自然科學基金（132300410231）

空間解析幾何是我學院數學類專業的大學第一學期的專業必修課.全校公共課高等數學的教學內容中也包含了解析幾何內容.由此可以看出空間解析幾何是高校教學中一門重要的數學基礎課.空間解析幾何，又稱為坐標幾何或卡氏幾何，是使用代數方法進行研究的幾何學.研究工具為二維或三維的直角坐標系并借助于向量和坐標來研究平面、直線、曲面和圓的方程.本文通過一些典型適當的例題具體說明向量方法在空間解析幾何中的應用.

1.向量方法在幾何命題證明中的應用

用傳統的綜合推理法，借助圖形的各種變換來解決空間幾何命題，往往需較強的技巧，一旦思路受阻，則難以求證；而利用向量法則有較好的效果.

例1證明：四面體每一個頂點與對面重心所連的線段共點，且這點到頂點的距離是它到對面重心距離的三倍.

例2已知四面體ABCD的頂點坐標A（2，3，1），B（4，1，-2），C（6，3，7），D（-5，4，8），求該四面體的體積.

分析直接用立體幾何的方法求四面體的體積，需要首先計算出四面體其中的一個面的面積和頂點到該平面的距離，這樣運算量相當大.但利用三向量混合積的幾何意義，就可以求空間四面體的體積.方法直接運算過程簡單.

3.向量方法在動點軌跡求解中的應用

例3已知兩個半徑均為r的圓C1和圓C2外切于P點.設圓C1不動，將圓C2沿著圓C1的圓周無滑動地滾動一周，這時圓C2上的點P也隨圓C2的運動而運動，P點的軌跡叫心臟線，求該心臟線的方程.

分析求動點軌跡方程的方法是不唯一的.如果直接求動點P軌跡的普通方程是難度比較大的，但采用向量法求動點P軌跡方程，容易入手且推導過程簡單直接，極大降低了問題的難度.

4.結論

向量法在空間解析幾何教學中有著十分重要的意義.從所舉例題解決中可以看出，向量法解題思路簡捷、規范，起到了化繁為簡，化難為易，事半功倍的效果.

【參考文獻】

[1]呂林根，許子道.解析幾何（第4版）[M].北京：高等教育出版社，2006.

[2]馬國強，賈興琴.空間解析幾何[M].鄭州：河南大學出版社，1995.

[3]陳燕芬.向量法的若干應用[J].廣西教育學院學報，2011，113（3）：159-161.

[4]謝正，李建平.空間解析幾何教學改革的一些探討.赤峰學院學報（自然科學版），2014，30（1）： 215-217.