高職教育中定積分應(yīng)用的教學(xué)研究高職教育中定積分應(yīng)用的教學(xué)研究

郭小林

【摘要】高等數(shù)學(xué)是高職教育中一門重要的基礎(chǔ)學(xué)科，定積分在其他學(xué)科中應(yīng)用非常多.這客觀上要求講授定積分不僅要教會學(xué)生定積分的基礎(chǔ)計算，還要教會學(xué)生能熟練應(yīng)用定積分處理相應(yīng)的社會問題.本文從定積分概念出發(fā)，重點講述微元法的認(rèn)識和使用，最后舉例說明定積分應(yīng)用和使用.

【關(guān)鍵詞】定積分；微元法；應(yīng)用；擴展

高職的培養(yǎng)目標(biāo)是在某一工作崗位上有技術(shù)專長的操作能手，側(cè)重于專業(yè)技能的培養(yǎng)，高職高專數(shù)學(xué)教學(xué)是培養(yǎng)高等技術(shù)應(yīng)用型人才的重要途徑.積分理論是高等數(shù)學(xué)中的重點部分，而整個積分理論是用于解決實際問題使用的重要思想和方法.故此，高職數(shù)學(xué)教育中要特別注重積分的教學(xué)研究和方法，更要使得高職學(xué)生能熟練掌握積分的應(yīng)用.積分的應(yīng)用主要表現(xiàn)在定積分的應(yīng)用.

1.定積分應(yīng)用教學(xué)的難點

在傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)模式下，會造成重理論、輕應(yīng)用的教學(xué)模式，會給學(xué)生造成一定的誤解，定積分的計算方法學(xué)得很扎實，而定積分應(yīng)用僅限于書本上的面積、體積等例題的應(yīng)用.造成這些問題的原因歸結(jié)于：對定積分概念掌握不足，對微元法思想掌握不足，對定積分的應(yīng)用范圍掌握不足.因此，高職數(shù)學(xué)教學(xué)過程中必須加強教學(xué)研究，加強數(shù)學(xué)應(yīng)用技能的教學(xué)研究.

2.定積分應(yīng)用的教學(xué)要點

要使學(xué)生深刻掌握定積分，并能正確應(yīng)用定積分解決實際問題，在教學(xué)要點中要努力做到以下方面：

第一，厘清定積分的概念

曲邊梯形的面積是作為定積分概念引入案例.此案例非常重要，一個看似無法求解面積的圖形，居然可以用一套特殊數(shù)學(xué)方法就求出面積.需要讓學(xué)生掌握求面積的四個步驟：分割——近似——求和——求極限，得到求面積的數(shù)學(xué)公式：

S=limλ→0∑ni=1f（ξi）Δxi.

上述這種數(shù)學(xué)方法稱為定積分，結(jié)果用符號∫baf（x）dx表示，即

∫baf（x）dx=limλ→0∑ni=1f（ξi）Δxi.

這樣可以使得學(xué)生清楚認(rèn)識，定積分是基于處理實際問題產(chǎn)生的，現(xiàn)實世界中還有許多類似問題，都可以用定積分的方法求解.

第二，微元法擴展了定積分應(yīng)用

微元法是定積分應(yīng)用部分的教學(xué)重點，也是對定積分概念的重塑，可以使定積分走出幾何面積的束縛，向其他應(yīng)用體積長度等方面擴展.同樣需要讓學(xué)生熟練掌握微元法的步驟：分割——近似——求定積分.微元法的精髓在于：不僅可以分割面積，還可以分割體積、長度等等，被分割的變量用微分d表示，被分割的部分看作一個規(guī)則的圖形近似計算，最后把近似值在整個區(qū)間上進(jìn)行積分.

此時，∫baf（x）dx中f（x）不僅僅是指曲邊梯形的高，f（x）dx可以表示任何一種被分割體的近似計算.

第三，定積分適用于一切變化過程求總量

用微元法擴展定積分應(yīng)用之后，定積分應(yīng)用的思維就已經(jīng)被打開了.可以總結(jié)出：凡是不規(guī)則的變化過程，需要求總變化量，均可按照微元法應(yīng)用定積分來解決問題.在自然科學(xué)、社會科學(xué)和工作生活的計算中，規(guī)則的變化幾乎不存在，更多的是不規(guī)則的變化，要準(zhǔn)確求出其變化總量，定積分是最合適的科學(xué)計算工具.

3.定積分的應(yīng)用案例

估計某醫(yī)院在某時間內(nèi)的就醫(yī)人數(shù).

一家新的鄉(xiāng)村精神病診所剛開張，對同類門診部的統(tǒng)計表明，總有一部分病人第一次來過之后還要來此治療.如果現(xiàn)在有A個病人第一次來就診，則t個月后，這些病人中還有A·f（t）個病人還在此治療，這里f（t）=e-t/20.現(xiàn)在這個診所最開始接受了300人治療，并且計劃從現(xiàn)在開始每月接受10名新病人.試估計從現(xiàn)在開始15個月后，在此診所接受治療的病人有多少？

既然f（15）是15個月后還要來此診所就診的病人人數(shù)的比例系數(shù)，那么在開張時接受的300個病人中15個月后還要再次就診的人數(shù)為P0=300f（15）.

為了計算從現(xiàn)在開始的15個月內(nèi)新接受的病人在15個月后還在此就診的人數(shù)，根據(jù)微元法，將月份0，15分成若干個小區(qū)間，取一個小區(qū)間作為微元，時間長度為dt，微元近似看作就診人員是均勻地到來.由于每月接受10人，則微元區(qū)間內(nèi)到來的人數(shù)是10dt，在15-t月后還有10dt·f（15-t）人再次就診.這15個月中就診的病人在15個月后再次就診的數(shù)量為P1=∫15010f（15-t）dt.

那么總的就診人數(shù)為P=P0+P1=300f（15）+∫15010f（15-t）dt，將f（t）=e-t/20代入可得：P=300e-3/4+10e-3/4∫150et/20dt=247.24（人），因此15個月后，這個診所將要接待247名左右的病人.

4.總結(jié)

高職教育中的數(shù)學(xué)教育，教學(xué)目的在于把數(shù)學(xué)作為一種工具來學(xué)習(xí)，并且使學(xué)生學(xué)習(xí)之后能夠正確地應(yīng)用.本文在教學(xué)要點的三個要點中，逐步把學(xué)生帶入定積分的應(yīng)用世界，能更深刻地認(rèn)識和領(lǐng)會定積分，能在現(xiàn)實經(jīng)濟社會中遇到變化的情況及時應(yīng)用定積分.最后通過一個具體的案例運算，詳盡展示了定積分的應(yīng)用過程.