高等數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)概念教學(xué)研究高等數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)概念教學(xué)研究

陳勤

【摘要】導(dǎo)數(shù)概念的教學(xué)中要注意充分利用導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景和學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)概念，注重揭示導(dǎo)數(shù)概念的內(nèi)在本質(zhì)和其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想與哲學(xué)內(nèi)涵，合理借助導(dǎo)數(shù)概念的直觀性促進(jìn)導(dǎo)數(shù)概念由抽象到具體的轉(zhuǎn)化.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)概念；導(dǎo)數(shù)概念；概念教學(xué)

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)的基石，它是揭示空間形式與數(shù)量關(guān)系本質(zhì)屬性的思維形式.數(shù)學(xué)概念的教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要環(huán)節(jié)，是掌握定理、證明、計(jì)算等一系列數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的前提或必要條件.

一、充分利用導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景和學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)概念

導(dǎo)數(shù)概念作為高等數(shù)學(xué)的核心概念之一具有高度的抽象性，與初等數(shù)學(xué)概念在含義與思維模式等方面有較大的跨度，因此教師在教學(xué)中要研究導(dǎo)數(shù)概念認(rèn)識(shí)過程的特點(diǎn)和規(guī)律性，根據(jù)學(xué)生認(rèn)識(shí)能力發(fā)展的規(guī)律來進(jìn)行教學(xué).導(dǎo)數(shù)概念有著良好的物理背景和幾何背景，教學(xué)中應(yīng)充分利用這些資源以及學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)導(dǎo)數(shù)概念.教師首先引導(dǎo)學(xué)生在已知自由落體運(yùn)動(dòng)（變速直線運(yùn)動(dòng)）路程函數(shù)s=12gt2的條件下，設(shè)法求出t=t0時(shí)刻的瞬時(shí)速度.學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)是會(huì)求勻速直線運(yùn)動(dòng)的速度，故所面對(duì)的是勻速與變速的矛盾.在此教師應(yīng)及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生緩和矛盾，其方法是取一較小的時(shí)間段Δt，求出在這個(gè)較小時(shí)間段內(nèi)的平均速度，用平均速度作為瞬時(shí)速度的近似值.然后分析當(dāng)時(shí)間段越變?cè)叫ˇ→0時(shí)會(huì)有怎樣的效果，使學(xué)生自己意識(shí)到通過對(duì)平均速度取極限可以得到瞬時(shí)速度，即矛盾得到了解決.用同樣方法可引導(dǎo)學(xué)生求出交變電流的瞬時(shí)電流強(qiáng)度和非均勻桿在一點(diǎn)處的線密度，結(jié)果幾個(gè)不同的物理問題得出了相同的數(shù)學(xué)模式.到此舍棄以上例子各自的物理背景，再進(jìn)行抽象給出導(dǎo)數(shù)定義便水到渠成了.

二、注重揭示導(dǎo)數(shù)概念的內(nèi)在本質(zhì)和其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想與哲學(xué)內(nèi)涵

教師在導(dǎo)數(shù)概念的教學(xué)中必須使學(xué)生認(rèn)識(shí)到，導(dǎo)數(shù)與真實(shí)現(xiàn)象間有著一般和特殊的關(guān)系，作為抽象思維的產(chǎn)物具有更為普遍的意義，它所反映的已不是某一特定事物或現(xiàn)象的量性特征，而是一類事物或現(xiàn)象在量的方面的共同特征.它除了表示瞬時(shí)速度、電流強(qiáng)度、線密度之外，還可以表示瞬時(shí)加速度、角速度、切線速度等，導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)是變化率.在揭示導(dǎo)數(shù)內(nèi)在本質(zhì)的同時(shí)，對(duì)導(dǎo)數(shù)概念中所蘊(yùn)含的深刻數(shù)學(xué)思想與哲學(xué)內(nèi)涵，教師也要有意識(shí)地向?qū)W生滲透，以此來培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法分析問題解決問題的意識(shí)和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高.極限方法是導(dǎo)數(shù)概念建立的基礎(chǔ)，它有效地揭示和把握了常量與變量、直線與曲線、勻速運(yùn)動(dòng)與變速運(yùn)動(dòng)等的對(duì)立統(tǒng)一及矛盾相互轉(zhuǎn)化的關(guān)系.為了讓學(xué)生更加具體地理解和認(rèn)識(shí)上述特征，教師可以對(duì)導(dǎo)數(shù)概念建立的全過程及其特點(diǎn)作一剖析.在求函數(shù)f（x）在x0的變化率時(shí)主要經(jīng)歷了三個(gè)步驟：第一步，從x0出發(fā)，以x0為中心“張開”一個(gè)小區(qū)間；第二步，利用已有的代數(shù)知識(shí)和方法，求出f（x）在該小區(qū)間上的平均變化率；第三步，讓此小區(qū)間向x0點(diǎn)“收縮”，經(jīng)過一個(gè)“無限”變小的飛躍過程，由函數(shù)f（x）在x0點(diǎn)鄰近的平均變化率獲得在x0點(diǎn)的變化率，即函數(shù)f（x）在x0點(diǎn)的導(dǎo)數(shù).上述處理問題的思想方法與初等代數(shù)和幾何的方法根本不同，它不是“直接”和“直線”式進(jìn)行的，而是采取了“欲進(jìn)故退”迂回方式，即為了求精確值而先求近似值，然后再由近似值過渡到精確值.從本質(zhì)上講，這種思想方法正是利用了點(diǎn)與點(diǎn)之間函數(shù)值的內(nèi)在聯(lián)系與制約的本質(zhì)特征，從而利用函數(shù)f（x）在x0點(diǎn)鄰近的變化狀態(tài)去揭示和把握f（x）在x0點(diǎn)的變化狀態(tài).

三、合理借助導(dǎo)數(shù)概念的直觀性促進(jìn)導(dǎo)數(shù)概念由抽象到具體的轉(zhuǎn)化

要達(dá)到對(duì)導(dǎo)數(shù)的真正認(rèn)識(shí)，必須通過對(duì)特例的考察，弄清導(dǎo)數(shù)概念的直觀背景.從幾何上看，導(dǎo)數(shù)f′（x）就是曲線y=f（x）在點(diǎn)x0，f（x0）處的切線的斜率.為了求曲線上某一點(diǎn)處的斜率，在曲線上任取另一點(diǎn)，求出和已知點(diǎn)所確定的割線的斜率，即縱坐標(biāo)的改變量與橫坐標(biāo)的改變量之比，然后再讓這一點(diǎn)和已知點(diǎn)逐漸靠近Δt→0，曲線上定點(diǎn)處的切線斜率就能轉(zhuǎn)化為割線斜率的極限，其數(shù)學(xué)形式與上述幾種類型完全相同.采用將抽象難理解的知識(shí)形象直觀地呈現(xiàn)給學(xué)生的教學(xué)手段，學(xué)生更容易感知上述過程中的由割線到切線的變化規(guī)律，從而能從直觀上了解導(dǎo)數(shù)的定義.可以看到，借助于幾何直觀性不但使學(xué)生深化了對(duì)導(dǎo)數(shù)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，而且對(duì)物理中的瞬時(shí)速度、加速度、角速度、比熱等概念作出了更科學(xué)合理的解釋.同時(shí)，教師在教學(xué)中還應(yīng)加強(qiáng)對(duì)導(dǎo)數(shù)幾何意義的處理和要求，讓學(xué)生反復(fù)通過圖形去認(rèn)識(shí)和感受導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及用導(dǎo)數(shù)的幾何意義去解決問題.通過圖形去認(rèn)識(shí)和感受導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)中的作用，其目的一是加深對(duì)導(dǎo)數(shù)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)和理解，二是體現(xiàn)幾何直觀這一重要思想方法對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的意義和作用.

導(dǎo)數(shù)概念是抽象思維的產(chǎn)物，但它又根植于客觀的現(xiàn)實(shí)世界，有著深刻的現(xiàn)實(shí)背景.教師在教學(xué)中應(yīng)該以學(xué)生為主體、以啟發(fā)式為原則、以簡(jiǎn)易性為目標(biāo)，讓學(xué)生親歷知識(shí)發(fā)現(xiàn)過程，在暴露導(dǎo)數(shù)概念生成的思維方式上多下工夫，注意揭示出導(dǎo)數(shù)概念的內(nèi)在本質(zhì)和其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想與哲學(xué)內(nèi)涵，培養(yǎng)學(xué)生理性的思維模式和提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)，并合理借助直觀性完成導(dǎo)數(shù)概念由較為抽象的表述向具體的形式化表述的轉(zhuǎn)化.導(dǎo)數(shù)概念的成功教學(xué)對(duì)學(xué)生成功地走向微分、定積分概念等內(nèi)容是一個(gè)很好的啟迪.

【參考文獻(xiàn)】

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