淺談數形結合在高中數學中的運用淺談數形結合在高中數學中的運用

樂志剛

【摘要】高中數學中有很多數學思想方法，其中數形結合思想是比較重要的一種，其將代數和幾何的知識進行了有效的連接，用代數方法解決幾何問題，用幾何知識化解代數問題，成為一道連接兩塊知識的重要橋梁.本文淺談該思想方法在高中數學知識中的運用.

【關鍵詞】高中數學；數形結合；思想方法；以形輔數；以數解形

高中數學教學設計到三個層次方面的教學：其一是教材中最基本知識和基本技能的教學，即所謂的雙基，近期課程綱要修訂中將雙基已經提升為四基的要求，即增加了基本思想方法和基本活動經驗，這是教師教學的最基本要求；其二是教材中諸多知識的整合性學習，這是基于雙基之上的一種教學層次；最后，高中數學最高層面的教學是思想方法的教學，只有學會思想方法，才能將變幻多端的試題寓于無形的解決方案中，這是高中數學教學的最終目標.《課程標準》正是這樣描述的：要讓學生掌握基本的數學思想方法，利用數學思想方法去解決問題.

高中數學思想方法中，數形結合思想是一種貫穿高中數學始終的數學思想方法.其核心在于用代數的方法解決一些幾何問題，用幾何的方法解決一些代數問題，將幾何和代數兩座孤島用橋梁進行了合理的連接，讓學生的腦海中建立起了數形互相轉換的概念，培養其解決問題的多思路性、發散性、簡捷性.

1.以形輔數

數形結合思想方法的作用之一，是以形輔數.用幾何本質的圖形來反映、解決代數問題是其思想的重要運用，來看兩個相關的案例.

案例1 設有函數f（x）=a+-x2-4x和g（x）=43x+1，已知x∈[-4，0]時恒有f（x）≤g（x），求實數a的取值范圍.

審題破題：x∈[-4，0]時恒有f（x）≤g（x），可以轉化為x∈[-4，0]時，函數f（x）的圖像都在函數g（x）的圖像下方或者兩圖像有交點，利用圖像解決代數中的不等式問題.

解析 f（x）≤g（x），即a+-x2-4x=43x+1，變形得-x2-4x=43x+1-a，

令y=-x2-4x，①

y=43x+1-a.②

① 變形得（x+2）2+y2=4（y≥0），即表示以（-2，0）為圓心，2為半徑的圓的上半圓；

② 表示斜率為43，縱截距為1-a的平行直線系.

設與圓相切的直線為AT，AT的直線方程為：

y=43x+b（b>0），則圓心（-2，0）到AT的距離為d=|-8+3b|5，

由|-8+3b|5=2得，b=6或-23（舍去）.

∴當1-a=6即a=-5時，f（x）≤g（x）.

反思歸納：解決含參數的不等式和不等式恒成立問題，可以將題目中的某些條件用圖像表現出來，利用圖像間的關系以形助數，求方程的解集或其中參數的范圍.

2.以數解形

以形解數最典型的代表是高中數學重要核心知識——解析幾何.笛卡爾創立了坐標系之后，后代的數學大師們將平面解析幾何放到坐標系中，輕松的用代數方法解決了幾何問題，這是數形結合思想的另一方面的重要體現.

案例2 已知拋物線C：y2=4x，過點A（-1，0）的直線交拋物線C于P，Q兩點，設AP=λAQ.（1）若點P關于x軸的對稱點為M，求證：直線MQ經過拋物線C的焦點F；（2）若λ∈13，12，求|PQ|的最大值.

審題破題：（1）可利用向量共線證明直線MQ過F；（2）建立|PQ|和λ的關系，然后求最值.

（1）證明：設P（x1，y1），Q（x2，y2），M（x1，-y1）.

∵AP=λAQ，

∴x1+1=λ（x2+1），y1=λy2，

∴y21=λ2y22，y21=4x1，y22=4x2，x1=λ2x2，∴λ2x2+1=λ（x2+1），λx2（λ-1）=λ-1.

∵λ≠1，∴x2=1λ，x1=λ，又F（1，0），

∴MF=（1-x1，y1）=（1-λ，λy2）=λ1λ-1，y2=λFQ，

∴直線MQ經過拋物線C的焦點F.

（2）解析：由（1）知x2=1λ，x1=λ，得x1x2=1，y22·y22=16x1x2=16，∵y1y2>0，∴y1y2=4，則|PQ|2=（x1-x2）2+（y1-y2）2=x21+x22+y21+y22-2（x1x2+y1y2）=λ+1λ2+4λ+1λ-12=λ+1λ+22-16，λ∈13，12，λ+1λ∈52，103，當λ+1λ=103，即λ=12時，|PQ|2有最大值1129，|PQ|的最大值為473.

反思歸納：求最值或求范圍問題常見的解法有兩種：（1）幾何法.若題目的條件和結論能明顯體現幾何特征及意義，則考慮利用圖形性質來解決，這就是幾何法.（2）代數法.若題目的條件和結論能體現一種明確的函數關系，則可首先建立目標函數，再求這個函數的最值，這就是代數法.

總之，數形結合思想是高中數學極為重要的思想方法之一.以形輔數主要體現在函數相關知識的延伸，以數解形恰恰在解析幾何中有著重要的體現.通過典型問題的滲透，努力培養學生數形結合思想方法的積累.