高中數學中的導數實例分析

楊志剛

【摘要】導數在高中數學和高等數學之間起到了承上啟下的作用，在高中數學的教學過程中常常是作為重點和難點來進行講解的.關于導數的應用拓展在平時的模擬和歷年高考題目中都有一定程度的體現.在本篇文章中，作者精心選取了幾個典型的與導數相關的數學題目加以分析并對相關知識點進行了總結，希望這些心得和體會能夠對廣大高中生有所啟示.

【關鍵詞】高中數學、導數、例題解析

高中數學中關于導數涉及一些基礎的知識，從初等數學的觀點出發，導數是與函數緊密相連，并且可以完全被看作函數大的知識框架中的一部分.導數是判斷函數單調性，求解函數極值和最值最關鍵的手段.而如果從高等數學的觀點出發，導數是微分的逆運算，而微分和積分又是構成高等數學的基石.從這里可以看出，高中學習的導數知識，不僅是為解決高中數學現有的問題，而且也是為了學生將來接觸到的高等數學打下一定的基礎，因此，顯得十分重要.關于導數的題目，一般可以從導數的意義、導數的運算法則和應用以及導數與其他知識點的綜合三個方面出題，下面我們一一進行舉例分析.

一、導數的意義

導數的意義來源于其本身的概念，又可以分為幾何意義和物理意義.導數的幾何意義表明導數是函數曲線上某一點切線的斜率；而物理意義就是某物理量對另一物理量的變化率，如距離對時間的導數是速度，而速度對時間的導數是加速度等.

例1 （2009年全國卷真題）已知直線y=x+1與曲線y=ln（x+α）相切，則α的值為（ ）.

A.1 B. 2 C. -1 D. -2

分析 這是一道關于導數基礎概念和幾何意義的高考真題，題干簡單但是蘊含著較多的信息.題干中說直線和曲線相切，也就是只有一個交點并且在這個交點處二者的斜率相同，這也是相切與相交的區別之處.因此，做這道題，首先必須明白相切二字帶來的信息，另外想到相切與導數的關系，也就是對導數幾何意義的熟悉.

解答 已知直線與曲線相切，故它們只有一個切點且在這個切點直線和曲線的斜率相同.設切點為P（x0，y0），則y0=x0+1=ln（x0+α）.又由于直線的斜率為一個常數k0=1，所以在切點處曲線y=ln（x+α）的斜率k1=k0=1.對曲線求導數，可得k0=1/（x0+α）=1，所以x0+α=1，即y0=0，x0=-1，所以α=2.

點評 當遇到題干十分簡練的題目時，一定要認真讀題，從每一個字眼中挖掘題目蘊含的一些信息.通常情況下，在考察導數的概念時，不會涉及很復雜的計算，所以題目設計的數字往往都是十分湊巧的.

二、導數的運算法則和應用

導數的運算法則不是人為規定的，而是對計算中的一些結論進行的總結，而這些總結性的知識也都是從最基礎的概念推理得出的.導數的求法以及運算法則在高中階段基本是一些需要死記硬背的東西，這里不再贅述.關于導數的應用，基本還是圍繞著函數的一些性質展開的，這里面包括函數的單調性、極值和最值等知識點.

例2 設函數f（x）=2x3+3ax2+3bx+8c在x=1及x=2時取得極值.

（1）求a，b的值.

（2）若對于任意的x∈ [0，3]，都有f（x）分析 在這道題中，題干中出現了極值，所以要求學生對函數極值的概念要十分熟悉，尤其是導數在極值點處取0的性質.這里涉及一個一元三次的函數，有3個系數a，b和c待定，通過兩個極值和函數的導數列出方程，可以求出a，b兩個系數，第一問就解決了.a，b兩個系數求出來以后，對于第二問就是一個不等式的問題，應該不難解決.

解答 （1）對函數f（x）=2x3+3ax2+3bx+8c求導可得到函數的導函數f′（x）=6x2+6ax+3b，因為函數f（x）在x=1和x=2取得極值，則有f′（1）=f′（2）=0，即6+6a+3b=0；24+12a+3b=0，解之，得：a=-3，b=4.

（2）由（1）可知，f（x）=2x3-9x2+12x+18c，求導得到導函數f′（x）=6x2-18x+12=

6（x-1）（x-2）.根據單調性，兩個極值點將函數分為三段.當x∈ [0，1]時，f′（x）>0，函數遞增，所以在區間 [0，1]上f（x）的極大值為f（1）=2-9+12+18c=5+18c，最小值為f（0）=18c；當x∈ [1，2]時，f′（x）<0，函數遞減，所以在此區間上函數的極大值為f（1）=5+18c，極小值為f（2）=16-36+24+18c=4+18c；當x∈ [2，3]時，f′（x）>0.函數遞增，所以在此區間上函數最大值f（3）=9+8c，極小值為f（2）=4+18c.綜上，當x∈ [0，3]時，函數最大值為f（3）=9+8c