新課標下高等數學常用構造法在中學數學教學中的體現

李明玥　趙雪

【摘要】用高等數學中常用的構造性思維法解數學題，是較為有效的一種方法，也是一種富有創造性的方法，因為構造法在猜想、抽象、概括、歸納、類比等重要的數學方法中都有體現.新課標下，不少數學題，特別是高考綜合題和中學數學競賽題，都可以用構造性思維方法通過重新組合成一種新的關系來解決.步驟簡明，富有新意，能刺激數學愛好者更大的興趣.基于此，研究構造法在中學數學教學中的應用是很有必要的.

【關鍵詞】構造法； 解題； 數學教學； 構造思維

在新課標下高中數學教學中，教師們需用適當題量，來訓練學生思維轉換的能力，引導學生，通過對一類問題的性質的分析，同時對其他類型的問題加以研究.構造法是解各類數學題常用而且十分重要的方法之一，它的實質就是通過觀察，深入的分析問題的結構特征和內在規律，綜合運用數學知識，以已知條件為先導，以相關的知識為輔助，以所求的結論為方向，通過細致的分析，豐富的聯想，靈巧的構思，創造性地構造一個與原命題密切相關的“數學模型”，實現未知向已知的轉化，從而把原問題轉化為比較簡單或易于求解的新問題.

一、構造方程（組）

在數學解題中，利用方程的根的概念、求根公式、根判別式、根與系數之間的關系等有關方程的理論，使問題中的隱含關系明朗化，從而簡捷迅速地使問題獲解.

例1 求證x2+1x2≥2，其中x≠0.

證明： 設a=x2+1x2，

∵x2×1x2=1，∴x2，1x2是方程t2-at+1=0的兩個根.

∴Δ=a2-4≥0，即（a+2）（a-2）≥0，

顯然a>0，∴a+2>0，a-2≥0，∴a≥20.

即x2+1x2≥2.

特別注意： 此題中，我們可以觀察到隱含的關系： x2×1x2=1，結合欲證不等式的左端，不難考慮到構造一元二次方程，利用根的判別式來證明.

二、構造函數

1.可根據其形式特征、目標要求，構造一個或若干個基本函數.通過對這些基本函數的研究分析，達到解決原命題的目的.

例2 求證：（x+y）（y+z）（z+x）+xyz能被x+y+z整除.

分析 構造函數，結合函數的概念、奇偶性、余式定理，解決數的屬性、整數的整除性、整式的整除性等問題.

證明： 構造函數 y=（x+y）（y+z）（z+x）+xyz.

當x=-（y+z）時，f[-（y+z）]=

-（y+z）+y

（y+z）z-（y+z）+

[-（y+z）]·y·z=（-z）（y+z）（-y）-yz（y+z）=0.

則函數f（x）含有因式x+y+z，所以f（x）能被x+y+z整除.

三、構造數列

等差數列和等比數列以及它們的前n項的和所成的數列是一些最特殊、最基本的數列.它們的通項公式用演繹法套公式解決.對于其他類型的數列，構造法求通項公式是一種重要的方法，即構造一個與原數列相關的新數列，轉化為具有特殊性質的數列.從而找到解題的新方案.

通過觀察并有限次的構造性試驗； 來推測一般結論，然后用數學歸納法證明.具體我們來看下面例題.

例3 求數列12+22+32+…+n2的通項公式.

解 構造分式12+22+32+…+n21+2+3+…n.

取n=1，2，3，4，5時，其分式的值依次為33，53，73，93，113.

我們通過對這有限的前五項的觀察可知： 各個分數的分母都是常數3，分數的分子組成了一個3為首項，以2為公差的等差數列.于是我們可以順理成章地推測它的第n項是3+n-1×23=2n+13.

所以12+22+32+…+n2=

2n+13×1+2+3+…+n=16nn+12n+1

用數學歸納法可以證明結論的正確，步驟略.

四、構造圖形構造圖形，則是將抽象、復雜的問題簡單化、具體化的最有效途徑. 在數學教學過程中，教師應培養學生的構圖法解題意識，讓學生把握數形結合思想，學會靈活轉化.構造平面圖形

例4 設f（x）=1+x2，a、b∈R+且a≠b.求證： fa-fb證明： 由題意，fa=1+a2，fb=1+b2構造Rt△ABC如圖D為直角邊BC上任意一點，設AB=1，DB=b，BC=a，則AD=1+b2，AC=1+a2.

在△ACD中有AC-AD