線性規劃在高考中常見題型及解法

任廷美

線性規劃是教材中的新增內容，縱觀近幾年的高考試題，線性規劃的試題多以選擇題、填空題出現，但部分省市已出現大題，分值有逐年加大的趨勢。簡單線性規劃正在成為一個高考熱點。認真分析研究近年各地高考試卷，可以發現這部分高考題大致有以下幾種類型。

一、求線性目標函數的最值及取值范圍

例1、[2014.全國卷Ⅱ]設x，y滿足約束

條件，則z=2x-y的最大值為（ ）

A. 10 B. 8 C. 3 D. 2

【解析】畫出區域，可知區域為三角形，經比較斜率，可知目標函數z=2x-y在兩條直線x-3y+1=0與x+y-7=0的交點（5，2）處，取得最大值z=8。故選B。

點評：本題主要考查線性規劃求最值， 同時考查學生的作圖能力，數形結合思想及運算求解能力，關鍵由線性約束條件畫出可行域，然后求出目標函數的最大值，是高考常考題型。

變式：設x，y滿足約束條件：，則z=x-2y的取值范圍 。

點評：求線性規劃目標函數的取值范圍，從而轉化為線性規劃目標函數求最值問題。

二、求約束條件中參數的取值

例2、[2013.全國卷Ⅱ]已知a>0，x，y滿足約

束條件若z=2x+y的最小值為1，則a=（ ）。

A. B. C.1 D.2

【解析】：由題意作出所表示的區域如圖陰影部分所示，作直線2x+y=1，因為直線2x+y=1，與直線x=1的交點坐標為（1，-1），結合題意知直線過點（1，-1），代入得，所以。故選：B

點評：本題是線性規劃的綜合應用，解決這類問題的關鍵是利用樹形結合的思想方法，給目標函數賦予一定的幾何意義。

變式：在約束條件下，當3≤s≤5時，目標函數z=3x+2y的最大值的變化范圍是（ ）

A.[6，15] B. [7，15] C. [6，8 ] D.[7，8]

【解析】：畫出可行域如圖所示，當3≤s<4時，目標函數z=3x+2y在B（4-s，2s-4）處取得最大值， 即zmax=3（4-s）+2（2s-4）=s+4∈[7，8）；

當4≤s≤5時， 目標函數z=3x+2y在點E（0，4）處取得最大值，

即zmax=3×0+2×4=8，故z∈[7，8]，從而選D。

點評：本題設計有新意，作出可行域，尋求最優解條件，然后轉化為目標函數Z關于S的函數關系是求解的關鍵。

三、目標函數含參數求最值

例3、[2013年.浙江高考]設z=kx+y，其中實數x，y滿足

若z的最大值為12，則實數k= 2 。

【解析】：已知不等式組可表示成如圖的可行域：

（1）當時，直線y=kx+z經過點M（4，4）時z最大，所以4k+4=12，得k=2（舍去）；

（2）當時，直線y=-kx+z經過點N（2，3）時z最大，

所以2k+3=12，解得 （舍去）；

（3）當-k<0時，直線y=-kx+z經過點M（4，4）時z最大，所以4k+4=12，解得k=2，符合條件，

綜上可得：k=2

點評：本題設計有新意，作出可行域，目標函數的最大值轉化直線y=-kx+z截距的最大值問題，關鍵討論斜率情況判斷出最優解的點是求解的關鍵。

變式：記不等式組，所表示的平面區域為D。若直線y=a（x+3）與D有公共點，則求a的最大值 。

【解析】畫出可行域如圖所示，直線y=a（x+3）恒過點（-3，0），而a的幾何意義是直線的斜率，求a的最大值轉化為在平面區域D找一點與（-3，0）的連線斜率的最大值。

點評：作出可行域，關鍵是了解直線恒過定點而a的幾何意義是直線的斜率。

四、求可行域的面積

不等式組表示的平面區域的面積為（ ）

A.4 B.1 C.5 D.無窮大

【解析】如圖，作出可行域，△ABC的面積即為所求，由梯形OMBC的面積減去梯形OMAC的面積即可，故選：B

點評： 求可行域的面積的求解關鍵是準確作出可行域，再求解面積。

五、求非線性目標函數的最值及取值范圍

例4、[2014.青島質檢]設變量x，y滿足約束條件：，則目標函數的最小值為 。

【解析】如圖，只要畫出滿足約束條件的可行域，而目標函數的幾何意義是區域內的點與點p（0，-1）連線的斜率。顯然圖中AP的斜率最小，由解得點A的坐標為（2，1），故目標函數的最小值1. 答案：1

例5、已知x，y滿足以下約束條件則z=x2+y2的最大值和最小值分別是（ ）

A、13 ，1 B、13 ，2 C、13， D、，

【解析】：如圖，只要畫出滿足約束條件的可行域，而x2+y2表示可行域內一點到原點的距離的平方。由圖易知A（2，3）是滿足條件的最優解，即|AO|2=13。最小值為原點到直線2x+y-2=0的距離的平方，即為，故選C

點評：解決非線性規劃最優解問題。求解關鍵是在挖掘目標關系幾何意義的前提下，作出可行域，尋求最優解。

（作者單位：貴州省遵義市余慶縣余慶中學）