圓錐曲線中與斜率有關的定值問題研究

范賢麗

[摘 要]主要研究圓錐曲線中因直線運動而產生與斜率有關的定值問題，涉及斜率之和、斜率之差、斜率之積三類定值問題.

[關鍵詞]圓錐曲線 斜率 定值

[中圖分類號] G633.6 [文獻標識碼] A [文章編號] 16746058（2015）230038

動和靜是物體的兩個方面，動是絕對的，靜是相對的，動靜是辯證地存在的.圓錐曲線是動靜結合的典范.以橢圓為例，橢圓的定義為定點F1、F2，定值2a（2a>F1F2），動點P滿足PF1+PF2=2a，則P的軌跡是橢圓.“動”是P的運動，“靜”是動點P滿足PF1+PF2=2a，點P到兩個定點的距離和是定值.在運動的過程中，不變的就是靜.本文以圓錐曲線為背景，研究與直線的斜率有關的定值問題.

一、斜率之和為定值

【例1】 橢圓C：x2a2+

y2b2=1（a>b>0）

經過點P（1，32），離心率e=12，直線l的方程為x=4.

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）AB是經過右焦點F的任意一弦（不經過點P），設直線AB與直線l相交于點M，記PA、PB、PM的斜率分別為k1、k2、k3.問：是否存在常數λ，使得k1+k2=λk3？若存在，求出λ的值；若不存在，說明理由.

解析：：（Ⅰ）易求出橢圓C的方程為x24+y23=1.

（Ⅱ）設B（x0，y0）（x0≠±1），則直線FB的方程為y（x0-1）=y0（x-1）.

令x=4，求得M（4，3y0x0-1），從而直線PM的斜率為k3=2y0-x0+12（x0-1）.

直線FB的方程與橢圓方程聯立方程組，解得A（5x0-82x0-5，3y02x0-5），

則直線PA的斜率為k1=2y0-2x0+52（x0-1），直線PB的斜率為k2=2y0-32（x0-1）.

所以k1+k2=

2y0-2x0+52（x0-1）+

2y0-32（x0-1）=

2×

2y0-x0+12（x0-1）=

2k3.故存在常數λ=2符合題意.

點評：過定點F的動直線引出三個動點：與定橢圓的兩個交點A、B，與定直線l的交點M，經過定點P（滿足PF⊥x軸）的調動，得到kPA+kPB=2kPM，動中有靜，靜由動生，動靜和諧，形式優美.

二、斜率之差為定值

【例2】 已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的離心率e=32，a+b=3，

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）A、B分別是橢圓C的左、右頂點，D是橢圓C的下頂點，P是橢圓C上除頂點外的任意一點，直線DP交x軸于點N，直線AD交BP于點M.設BP的斜率為k，MN的斜率為m，求證：2m-k為定值.

解析：（……