“上下呼應，溝通你我”
——例談綜合題的小問設計

☉江蘇省如皋市實驗初中 徐相柱

“上下呼應，溝通你我”
——例談綜合題的小問設計

☉江蘇省如皋市實驗初中 徐相柱

中考綜合題的解題研究、命題研究一直都是很多同行關注的熱點，特別是全卷的最后一題，命題組在設計時更是匠心獨運，苦心經營，從而帶來很多命題考查功能之外的試題立意、教學指向.當然也有個別考題出現了一些美中不足的現象，這在文1、2中得到商榷和改進，這種本著命題研討的精神而開展的教研活動是十分難得的，值得我們學習.下面也列舉兩個題例，根據個人喜好也做些賞析或改編，就教于大家，期待批評.

一、題例及改編

題例1（2015年1月江蘇省某市某校七年級上學期復習卷）數軸上，點A表示-3，點B表示5，點P表示數p.當AP=10BP時，求p的值.

思路分析：成功求解這道題有兩個難點，一是分類討論，即點P在線段AB上或AB的延長線上；二是根據數軸上兩點之間的距離列出方程.

命題商榷：考慮到這道習題的難點分解，可以將問題做如下的分步設問，使得不同的學生在這道習題上都能取得相應的得分，從而追求更好的信度、效度與區分度.

命題改編：數軸上，點A表示-3，點B表示5.

（1）從A點出發，點在數軸上向右移動4個單位到達C點，則點C表示的數是_____，BC=_____.

（2）線段AB上有一點P，PA=k·PB，點P對應的數是p.

①當k=1時，p=_____；

②當k=3時，p=_____；

③p=_____（用含k的式子表示）.

（3）數軸上有一點N，當AN=10BN時，求點N所對應的數n.

解法提示：（1）1，4.

（2）①當k=1時，點P恰為AB的中點，于是對應著上一個問題，即此時點P位于（1）中的點C處.

②當k=3時，點P為線段AB的四等分點之一，容易求出此時BP=2，于是p=3.

③從絕對值幾何意義、線段角度可以列出方程，p+ 3=k（5-p），解得p=

（3）與（2）相比，從“線段”到“數軸”，點N也就是上一問中的P，“10”就是上一問中的“k”，還是從兩點之間的距離來構造方程處理較好些，而且需要分兩種情況討論.

第一種情況，點N在線段AB上，10（5-n）=n+3，解得n=

第二種情況，點N在線段AB的延長線上，10（n-5）= n+3，解得n=

題例2（2014年廣東省廣州市，第24題，14分）已知平面直角坐標系中兩定點A（-1，0）、B（4，0），拋物線y= ax2+bx-2（a≠0）過點A、B，頂點為C，點P（m，n）（n＜0）為拋物線上一點.

（1）求拋物線的解析式和頂點C的坐標.

（2）當∠APB為鈍角時，求m的取值范圍.

思路簡述：簡要給出第三問的思路，結合第二問的求解，強化條件“若m＞當∠APB為直角時”得點P的坐標為（3，-2）.構造圖1分析.

圖1

設存在一個圖形滿足題意，此時C、P相應平移到C′、P′處，將點P′向左平移5個單位長度到P1處，作P1關于x軸對稱的點P2，此時連接P2C′，應該恰好經過點A，才是符合要求的平移狀態.

命題商榷：求解第二問時已經獲得直角位置，進一步分析鈍角的狀態；而第三問卻利用所謂的強化條件讓學生倒過去，重拾這個直角位置，這與綜合題各個小問之間“一步一步向上走”的命題取向有所偏離.此外，作為這道綜合題最難的第三問，還有兩個難點：難點之一，在于如何將其中一個點平移后利用“將軍飲馬”模式實現定位作圖；難點之二，定位作圖出來后，能否順利解出答案也會阻攔不少學生，因為運算較繁，惜時如金的考場，挑戰了學生的計算能力，導向“多思多算”的境地，值得商榷.

變式改編：如圖2，平面直角坐標系下，拋物線y=ax2+bx-2（a≠0）經過點A（-1，0）、B（4，0），頂點為C.

（1）求拋物線的解析式和頂點C的坐標.

（2）設拋物線與y軸的交點為D，連接AD、BD，求證：AD⊥BD.

圖2

（3）點P為拋物線在第四象限內一點，當∠APB為直角時，將該拋物線向左或向右平移t（0＜t＜）個單位，點

C、P平移后對應的點分別記為C′、P′，是否存在t，使得首尾依次連接A、B、P′、C′所構成的多邊形的周長最短？若存在，求t的值并說明拋物線平移的方向；若不存在，請說明理由.

改編意圖：與原題相比，給出草圖、改變第二問，使得入口較原題更寬，而且第三問刪減無關旁枝的干擾（如點P（m，n）（n＜0）為拋物線上一點，若m＞，當∠APB為直角時），直接給出點P為拋物線在第四象限內一點，條件是等價的.當然，最后一問保持了原貌，讀者不妨參與優化，筆者思考很久，但未能使運算量減少“.少算多思”是命題的一種追求.

二、進一步的思考

1.較難綜合題的設問宜漸次生長、引導參與

我們知道，較難的綜合題常常所占的分值也較大，如果這樣的習題只有一個較難設問（如上文題例1），則容易造成更多的學生在考場上簡單放棄，從而造成試題在區分度、信度上的不足.這時將問題重新改編，從一個十分簡單、好懂的基礎條件出發，漸次生成、變式拓展，引導更多學生參與應答，而最后的問題又要真正起到“把關”作用，讓一道題目就能使不同的學生的解題能力得到很好的區分.

2.不同小問之間需要加強關聯、溝通你我

當前很多中考綜合題下面的幾個小問題的設計多以并列式問題為主，如題例2這樣，三個小問之間并無遞進式關系，但是它們的求解思路、后一問的解題念頭的來源卻又需要借助上一問的思路啟發，像這種命題設計技術就是注重關聯.此外，如題例1的改編那樣，第一問中的點C成為下一問中的點P，而最后一問中的N點溝通著上一問中的P，這種關聯前后、溝通你我的設計都需要精心構思，待到習題講評時也需要引導學生思考和體會.

1.鄔吉利.一類“偽坐標系”考題的評析與商榷［J］.中學數學（下），2014（8）.

2.朱月祥.改編考題為研討，追求簡潔重關聯［J］.中學數學教學參考（中），2014（12）.

3.賀信淳.從多角度審視一道中考試題說開去——談對初中數學教育現狀之惑［J］.數學通報，2013（12）.