對一道中考壓軸題的解析與思考

☉安徽省當涂縣大隴初中 倪興隆

☉安徽省馬鞍山市丹陽中學袁慶明

對一道中考壓軸題的解析與思考

☉安徽省當涂縣大隴初中 倪興隆

☉安徽省馬鞍山市丹陽中學袁慶明

中考壓軸題的主要功能是對不同水平層次的同學進行區分和選拔，突出考查同學們在初中階段對核心知識和重要數學方法、數學思想的理解和掌握水平.2014年安徽省中考數學壓軸題（有改動），以正六邊形為背景，命題的立意高、選材精、定位準；解題的入口寬、思路廣、方法多，蘊含著豐富的數學思想和解題技巧，是難得的一道好題.

一、試題呈現

（2014年安徽卷第23題，有改動）如圖1，正六邊形ABCDEF的邊長為a，P是BC邊上一動點，過P作PM∥AB交AF于M，作PN∥CD交DE于N.

（1）求證：PM+PN=3a.

（2）如圖2，點O是AD的中點，連接OM、ON.求證：OM=ON.

（3）如圖3，點O是AD的中點，OG平分∠MON，判斷四邊形OMGN是否為特殊四邊形，并說明理由.

圖1

圖2

圖3

圖4

二、解法薈萃

先探討第一問的解法.

【思維導引】證明線段的和、差與倍分關系，通常采用“截長法”或“補短法”，解決本問的關鍵是利用轉化思想，將線段PM和PN轉化為正六邊形的邊長.

【思路分析1】如圖4，通過連接AD，把線段PM和PN分割，使圖中產生平行四邊形和等邊三角形，利用平行四邊形對邊相等和等邊三角形三邊相等的性質把線段PM和PN轉化為正六邊形的邊長，從而完成證明.

證法1：如圖4，連接AD，交PM于G點、PN于H點.

由PM∥AB，PN∥CD，六邊形ABCDEF是正六邊形，易知△AMG、△DHN和△PGH都是等邊三角形，四邊形ABPG和四邊形DCPH是平行四邊形，AD=2a.

PM+PN=PG+MG+PH+HN=AB+AG+CD+DH=BP+ PC+2a=BC+2a=3a.

【思路分析2】觀察圖形還可以發現圖中存在等腰梯形，因等腰梯形兩腰相等，所以還可以利用平行四邊形、等腰梯形和等邊三角形的性質，把線段PM和PN轉化為正六邊形的邊長來證明.

證法2：如圖4，由PM∥AB，PN∥CD，六邊形ABCDEF是正六邊形，易知△AMG、△DHN和△PGH都是等邊三角形，四邊形ABPG和四邊形DCPH是平行四邊形，四邊形ABPM和四邊形DCPN是等腰梯形，AD=2a，AM+DN=BP+PC=a.

PM+PN=MG+PG+HN+PH=AM+AB+DN+CD=3a.

【思路分析3】如圖5，過B點作BG∥AM交PM于G，過C點作CH∥DN交PN于H，這樣可以把PG與PH的和直接轉化為BC，然后利用平行四邊形對邊相等把剩余兩段分別轉化為正六邊形的邊長.

圖5

證法3：過B點作BG∥AM交PM于G，過C點作CH∥DN交PH于N.

由PM∥AB，PN∥CD，六邊形ABCDEF是正六邊形，BG∥AM，CH∥DN，得△BPG、△CPH是等邊三角形，四邊形ABGM和四邊形DCHN是平行四邊形.

PM+PN=PG+MG+PH+HN=PB+AB+PC+CD=BC+2a= 3a.

【思路分析4】連接BE，利用兩個平行四邊形和一個等邊三角形，結合正六邊形的對角線等于邊長的2倍這一性質，把PM與PN的和轉化為邊長的3倍.

證法4：如圖6，連接BE（或CF）交PM于點G.

由PM∥AB，PN∥CD，六邊形ABCDEF是正六邊形，得△BPG是等邊三角形，四邊形ABGM和四邊形PGEN是平行四邊形，BE=2a.

PM+PN=PG+MG+GE=BG+AB+GE=AB+BE=3a.

【思路分析5】上述幾種方法是利用“截長法”來證明線段的和、差與倍分關系的，除此外還可以采用“補段法”來證明，即延長PM與PN.

證法5：如圖7，分別延長PM和PN，與EF和FE的延長線分別交于G和H.

由PM∥AB，PN∥CD，六邊形ABCDEF是正六邊形，易知△FMG、△EHN和△PGH都是等邊三角形，四邊形ABPM和四邊形DCPN是等腰梯形.

圖6

圖7

PM+PN=PG-MG+PH-NH=2GH-GF-HE=2（EF+GF+ HE）-GF-HE=2EF+（GF+EH）=2a+（GF+EH）.

易知AM+DN=a.

GF+EH=MF+NE=AF+DE-AM-DN=2a-a=a.故PM+PN=3a.

再探討第二問的解法.

【思維導引】證明線段相等主要是通過三角形全等來證明，解決該題的關鍵是通過添加輔助線構造出全等的三角形.

【思路分析1】由于圖中OM和ON所在的三角形顯然不全等，所以必須通過添作輔助線構建全等的三角形，而垂線是常作的輔助線之一.

證法1：如圖8，過O點分別作OG⊥AF，OH⊥DE，垂足分別為G和H.

由六邊形ABCDEF是正六邊形，OG⊥AF，OH⊥DE，易知OG=OH，AG= DH=a.

圖8

圖9

則△OGM≌△OHN，故OM=ON.

【思路分析2】雖然圖中OM和ON所在的三角形不全等，但是若在圖中標上適當的字母，就得到有可能全等的三角形，如圖9中的△MGO和△OHN.

證法2：如圖9，設PM、PN和AD分別交于點G和H.

易知△AGM和△DHN都是等邊三角形，所以∠MGO=∠OHN=120°.

由AM+DN=a，AG+GO=a，AM=AG，DN=HN，得GO= HN.

同理，MG=OH.

則△MGO≌△OHN，故OM=ON.

【思路分析3】平行線也是常作的輔助線之一.如圖10，連接BF，就有BF∥PN，這樣就構建了可能全等的△AMO和△ENO.

圖10

證法3：如圖10，連接EB（或CF）.

易知四邊形ABPM和四邊形EBPN都是等腰梯形，則AM=BP=EN.又AO=EO=a，∠MAO=∠NEO=60°，則△AMO≌△ENO，故OM=ON.

【思路分析4】點O既是正六邊形的外心，又是它的內心，如果能夠把O點轉化為△PMN的外心，那么根據三角形外心的性質同樣可以得到OM=ON.

證法4：如圖11，連接OP和MN，過O分別作線段AB和CD的垂線l1、l2.

由l1、l2分別垂直平分線段AB和CD，四邊形ABPM和四邊形DCPN都是等腰梯形，得l1、l2也分別垂直平分線段MP和NP，即O是△MPN的外心，則OM=ON.

圖11

【思維導引】四邊形OMGN是菱形.由于根據第二問已經知道OM=ON，所以只要證明四邊形OMGN是平行四邊形即可.

【思路分析1】欲證明四邊形OMGN是菱形，已經知道OM=ON，因此只要證明MG=ON即可（或證明OM=ON= MG=NG，利用四邊相等的四邊形是菱形得到證明）.

解法1：如圖12，設PN交OD于H，連接EO.

由△AMO≌△ENO（圖10已經證明），得∠MOA=∠NOE.又∠EOA= 120°，則∠MON=120°.

而OG平分∠MON，則∠MOG= 60°.

圖12

則∠MOA=∠GOF，又∠MAO=∠GFO，OA=OF，則△AMO≌△FGO，則AM=FG.

又AM=BP=OH，MF=PC=DN=NH，∠MFG=∠NHO= 120°，則△MFG≌△NHO，則MG=ON.

同理MO=GN.又MO=NO（已證），則四邊形OMGN是菱形.

【思路分析2】證明四邊形OMGN是平行四邊形，也可以根據已知120°的角，求出其他未知角的度數，從而得到對角相等來證明.根據前面的證明不難知道圖13中有：△MFG≌△OKM≌△NHO≌△GEN.

解法2：如圖13，易得△MFG≌△OKM≌△NHO≌△GEN，則∠FMG=∠KOM.又∠KOM+∠KMO= 60°，則∠FMG+∠KMO=60°.

又∠AMK=60°，則∠GMO=60°.

同理，∠GNO=60°，∠MGN=∠MON=120°.

圖13

又OM=ON，則四邊形OMGN是菱形.

【思路分析3】證明四邊形OMGN是平行四邊形，也可以通過對角線互相平分來證明.

解法3：如圖14，連接MN.

由OM=ON（已證），OG平分∠MON，得OG垂直平分線段MN.

由MG=MO，MN垂直OG，得MN平分線段OG.

圖14

則四邊形OMGN是菱形.

【思路分析4】證明一個四邊形是菱形，也可以利用兩個全等的等邊三角形拼成的四邊形是菱形這一性質來證明.

解法4：如圖15，連接OE、OF.

圖15

由△AMO≌△ENO（圖10已證），得∠MOA=∠NOE.又∠EOA=120°，則∠MON=120°.

而OG平分∠MON，則∠MOG= 60°.

又∠FOA=60°，則∠MOA=∠GOF.又AO=FO，∠MAO=∠GFO=60°，則△MAO≌△GFO，故MO=GO，因此，△MGO為等邊三角形.

同理，可證△NGO也是等邊三角形，故四邊形OMGN是菱形.

三、模型拓展

縱觀上述中考試題可以看出，它是以正六邊形模型為載體，突出考查了動點定值問題和底角為60°的等腰梯形內接菱形問題.如果改變載體平臺，將正六邊形設計為其他的特殊圖形，并將原有條件做適當調整，那么又會產生哪些結論呢？

1.關于正三角形

如圖16，正三角形ABC的邊長為a，P是BC邊上一動點，過P作PM∥AC交AB于點M，作PN∥AB交AC于點N.

（1）思考：PM+PN的值是否變化？如果不變，則是多少？

（2）如圖17，點O是△ABC的中心，連接OM、ON.試問：OM和ON相等嗎？

圖16

圖17

參考答案：（1）PM+PN=AB=a.

（2）OM=ON.

2.關于等腰梯形

（1）動點定值問題.

如圖18，等腰梯形ABCD的對角線長為b，過下底BC上一點P作PM∥AC，PN∥BD，分別交兩腰AB、DC于點M、N，則PM+PN的值是多少？

圖18

參考答案：PM+PN=b.

（2）內接菱形問題.

①順次連接等腰梯形各邊中點所圍成的四邊形是菱形嗎？

參考答案：是菱形.

②如圖19，已知M、N分別是等腰梯形的兩腰AB、CD上的點，且BM= DN，作線段MN的垂直平分線分別交兩底AD和BC于點E和F，判斷四邊形MFNE是否為特殊四邊形，并說明理由.

圖19

參考答案：四邊形MFNE是菱形.

3.關于正五邊形

如圖20，已知正五邊形ABCDE的邊長為a，P是CD上的一點，PM∥CB，PN∥DE，試探究PM+PN的值是多少.

圖20

四、方法提煉

深入研究上述中考題，我們會發現其中蘊含著許多數學思想方法.提煉這些方法，對我們解決各種類型的壓軸題有一定的指導作用.

1.動點定值問題的探究方法

動點定值問題是近年來中考命題熱點，更成為大部分學生學習的困擾.這類題型不僅考查學生對基礎知識和技能的理解和掌握，對基本數學思想的領悟，更能間接而有效地體現學生數學思維的廣度與深度.常見的定值問題有：線段定值、角度定值、面積定值、周長定值等.這類問題中，有時直接給出定值是何值，讓我們去論證結論的正確性，但有時候卻沒有給出定值具體是何值，而是隱含在題設中，要我們自己去探討，這是解決這類題的關鍵.而將動點位置特殊化是探究定值的一種有效辦法.

2.線段相等關系的證明方法

證明線段相等關系的方法很多，主要有四種：（1）把要證的兩條線段放在兩個三角形中，利用全等三角形對應邊相等來證明；（2）把要證的兩條線段放在兩個三角形中，利用相似三角形對應邊成比例得到，從而證出a=b；（3）把要證的兩條線段放在同一個三角形中，利用等角對等邊來證明；（4）利用等式的性質，先證a=c，再證b=c，從而得到a=b.

3.線段的和、差與倍分關系的證明方法

證明線段的和、差與倍分關系，通常采用“截長法”或“補短法”，有時還會通過添加輔助線將要證的線段分解，逐步轉化到一條已知線段上，從而完成倍分關系的證明.

4.特殊四邊形的證明方法

欲想證明四邊形為某種特殊四邊形，首先要了解各種特殊四邊形的從屬關系，即：

如果要證明某四邊形是菱形，除了直接運用菱形的判定方法外（上述中考題第三問的證法1和證法4），也可以首先證明四邊形是平行四邊形，然后證一組鄰邊相等或證明對角線互相垂直即可（上述中考題的證法2和證法3）.

總之，中考數學壓軸題具有立意新穎，知識點涵蓋豐富，解題能力要求高，凸顯數學思想方法，區分層次和選拔的作用，它是中考數學試題的精華部分.認真研究這樣的中考試題，能夠幫助學生克服畏難情緒，提升應試水平.