新定義題破題策略與命題商榷
——以北京市海淀區初三第一學期測試卷第25題為例

☉山東省莒南縣嶺泉鎮初級中學 閆守范

新定義題破題策略與命題商榷
——以北京市海淀區初三第一學期測試卷第25題為例

☉山東省莒南縣嶺泉鎮初級中學 閆守范

眾所周知，北京市中考數學卷已連續多年在最后一題的位置上設計原創的新定義題，這種命題導向引發了其他地區新定義題型的命題跟進，“上有所好，下必迎合”，在應試復習仍然嚴重的當下，特別是北京市各區的模擬考卷常常也在關鍵位置設計出新定義考題，為考生提前做好預熱.本文以新近一道北京市海淀區初三第一學期期末考試中的最后一題為例，講解破題策略，最后再由這道習題出發，談談這類問題的命題商榷意見，與大家研討.

一、新定義題的破題策略

例1（2014-2015年北京市海淀區初三第一學期期末卷）在平面直角坐標系xOy中，設點P（x1，y1），Q（x2，y2）是圖形W上的任意兩點.

定義圖形W的測度面積：若|x1-x2|的最大值為m，|y1-y2|的最大值為n，則S=mn為圖形W的測度面積.

例如，若圖形W是半徑為1的⊙O.當P、Q分別是⊙O與x軸的交點時，如圖1，|x1-x2|取得最大值，且最大值m= 2；當P、Q分別是⊙O與y軸的交點時，如圖2，|y1-y2|取得最大值，且最大值n=2.則圖形W的測度面積S=mn=4.

圖1

圖2

（1）若圖形W是等腰Rt△ABO，OA=OB=1.

①如圖3，當點A、B在坐標軸上時，它的測度面積S= ________；

圖3

圖4

②如圖4，當AB⊥x軸時，它的測度面積S=________.

（2）若圖形W是一個邊長為1的正方形ABCD，則此圖形的測度面積S的最大值為________.

（3）若圖形W是一個邊長分別為3和4的矩形ABCD，求它的測度面積S的取值范圍.

思路講解：

第一步，理解定義好起步.

初讀所謂的“測度面積”有些晦澀，不太好理解，這時需要認真閱讀題目所配例子，那個圓的圖形測度面積可以加深對新定義的理解.再進入第（1）問第①小問的求解，△AOB的三個頂點的坐標分別為（1，0）、（0，0）、（0，1），這樣，|x1-x2|的最大值m就是AO的值1，|y1-y2|的最大值n是BO的值1，于是“測度面積”S=mn=1.

第二步，并列問題實遞進.

第（2）問看似與上一問無關，并列式設問，其實只是把第（1）問中的等腰直角三角形補成一個正方形繼續探究，分兩種情況思考：

如圖5，|x1-x2|的最大值m就是正方形的邊長1，|y1-y2|的最大值n是正方形的邊長1，于是“測度面積”S=mn=1.

如圖6，|x1-x2|的最大值m就是正方形的對角線的長，|y1-y2|的最大值n是正方形的對角線的長于是“測度面積”S=mn=2.

圖5

圖6

第三步，拓展生長需挑戰.

第（3）問從上一問正方形變式為矩形，問題也改為求“測度面積”的范圍，可以分別思考其上限、下限.

以下給出網絡上流行的所謂“參考答案”：

不妨設矩形ABCD的邊AB=4，BC=3.由已知可得，平移圖形W不會改變其測度面積S的大小，將矩形ABCD的其中一個頂點B平移至x軸上.

當頂點A、B或B、C都在x軸上時，如圖7和圖8，矩形ABCD的測度面積S就是矩形ABCD的面積，此時S取得最小值，且最小值為12.

圖7

圖8

圖9

上面通過分類思考圖7、圖8兩種情況，它們的共同點就是矩形的兩邊分別與坐標軸平行（含重合）時，這樣矩形ABCD的測度面積S就是矩形ABCD的長、寬的積.

然而將矩形的位置旋轉一定的角度后，如圖9，當頂點A、C都不在x軸上時，需要構造輔助線進行思考，可以過點A作直線AE⊥x軸于點E，過點C作直線CF⊥x軸于點F，過點D作直線GH∥x軸，與直線AE、CF分別交于點H和G，則可得四邊形EFGH是矩形.

當點P、Q分別與點A、C重合時，|x1-x2|取得最大值m，且最大值m=EF；

當點P、Q分別與點B、D重合時，|y1-y2|取得最大值n，且最大值n=GF.

要注意，這里分別探究EF、GF的最大值意義并不大，而需要整理思考圖形W的測度面積S=EF·GF的最大值.

因為∠ABC=90°，所以∠ABE+∠CBF=90°.

因為∠AEB=90°，所以∠ABE+∠BAE=90°，所以∠BAE=∠CBF.

設AE=4a，EB=4b（a＞0，b＞0），則BF=3a，FC=3b.

在Rt△ABE中，由勾股定理得AE2+BE2=AB2.

所以16a2+16b2=16，即a2+b2=1.

易證△ABE≌△CDG.所以CG=AE=4a.

解后反思：現在來反思上面的求解，容易發現，最后一問關于測度面積的最大值是極具挑戰的，主要難點有兩處，第一，能否及時將問題分解為三種情況思考，即圖7、8、9的情況；第二，對于圖9情況的探究，能否引入恰當的參數，并對“12+25a進行高超的配方變形，這事實上也超越了初中階段數式變形的要求，一般學生在考場上是難以順利完成的.

讓我們認真思考第（1）（2）問解題之外能積累的一些經驗，是不是可以猜想并確認如下性質：平移圖形W不會改變其測度面積S的大小，只是在旋轉時會改變，而且當矩形的邊分別與坐標軸平行時，測度面積S會取得最小值；而當矩形的一邊與坐標軸成45°角時，測度面積會取得最大值.

圖10

二、后續思考

如前所述，由于像北京市中考卷常常在最后一題這樣的位置設計新定義題的風向標作用，很多地區也紛紛效仿，對新定義題過分偏好，出現很多不夠恰當的新定義題，比如簡單地將高中階段的某個數學概念、公式或性質下放到中考試卷；或者個性化地命名所謂的新概念，造成試題的信度、效度不好，以下再圍繞上面這道考題商榷兩點：

1.“新定義”是否嚴謹

該考題的最上面一句話“在平面直角坐標系xOy中，設點P（x1，y1），Q（x2，y2）是圖形W上的任意兩點”.而“定義圖形W的測度面積：若|x1-x2|的最大值為m，|y1-y2|的最大值為n……”時，容易讓人誤解為y1與x1是嚴格對應的，那樣的話，當“若|x1-x2|取得最大值m”時，而|y1-y2|只能跟前面有一個唯一對應的值，又怎能取得最大值呢？

2.拓展生長問題的解法不能“超標”設計

第（3）問的“網上流傳的解法”如果是命題組提供的話，那么對于超高要求的配方變式顯然屬于“超標”設計，在現行各種教材上也難找到相對應的數式變形的要求，這樣的命題導向將數學引向繁難，值得商榷.如果采用后續反思過程中提及的將矩形旋轉45°的方法，又有一個麻煩，是否所有矩形的所謂測度面積都是旋轉45°后，測度面積獲得最大？理由何在？這只是從前兩問猜想和發現的一種經驗，可見深入思考這個“經驗問題”還是有積極價值的.

1.周艷娟.關于試題人文價值的另類思考［J］.中學數學（下），2015（1）.

2.劉東升.并列式問題與遞進式求解［J］.中學數學教學參考（中），2012（8）.