初中數(shù)學(xué)發(fā)生教學(xué)法的策略與應(yīng)用
——以北師大版“字母表示數(shù)”為例

☉華中師范大學(xué)教育學(xué)院 張俊忠

初中數(shù)學(xué)發(fā)生教學(xué)法的策略與應(yīng)用
——以北師大版“字母表示數(shù)”為例

☉華中師范大學(xué)教育學(xué)院 張俊忠

德國(guó)生物學(xué)家海克爾在1866年提出了“生物發(fā)生原理”，即“個(gè)體發(fā)育史重蹈種族發(fā)展史”.將此類推于數(shù)學(xué)教育將得出：個(gè)體對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解過(guò)程遵循數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過(guò)程.把數(shù)學(xué)史作為教學(xué)線索，不明確地談?wù)摂?shù)學(xué)史，用數(shù)學(xué)史來(lái)啟示教學(xué)，這就是數(shù)學(xué)發(fā)生教學(xué)法.

一、發(fā)生教學(xué)法的策略

運(yùn)用發(fā)生教學(xué)法進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)的關(guān)鍵在于教師，對(duì)教師的要求是：（1）要全面了解所教主題的歷史；（2）要理解該主題歷史發(fā)展過(guò)程中的關(guān)鍵環(huán)節(jié)；（3）掌握一個(gè)環(huán)節(jié)發(fā)展到下一個(gè)環(huán)節(jié)的原因是什么，遇到的困難和障礙是什么；（4）重構(gòu)歷史環(huán)節(jié)，使其適合于課堂教學(xué)；（5）設(shè)計(jì)出一系列由易到難、環(huán)環(huán)相扣的問(wèn)題.

具體實(shí)施時(shí)，可以分為四個(gè)階段.（1）創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境：思維和認(rèn)知過(guò)程的起源是構(gòu)造問(wèn)題情景的最佳方式；（2）自然引出新問(wèn)題：思考和理解的第一步是產(chǎn)生問(wèn)題，而且每解決一個(gè)問(wèn)題就會(huì)產(chǎn)生新的問(wèn)題，在解決了最初的問(wèn)題之后，還需要不斷思考新的、自然出現(xiàn)的問(wèn)題；（3）分析學(xué)生的認(rèn)知需求：確定學(xué)生思維能力的水平，估計(jì)過(guò)程中可能存在的困難，重要的是尋求激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)的方法；（4）重構(gòu)歷史順序：在現(xiàn)代教學(xué)背景下重構(gòu)關(guān)鍵的思想和問(wèn)題，以發(fā)生的歷史過(guò)程解釋概念、理論或關(guān)鍵思想后面的動(dòng)機(jī).

二、發(fā)生教學(xué)法的應(yīng)用

以北師大版七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第三章“整式及其加減”第一節(jié)“字母表示數(shù)”為例，介紹發(fā)生教學(xué)法的具體過(guò)程.

（一）全面了解“字母表示數(shù)”的歷史

19世紀(jì)德國(guó)數(shù)學(xué)史家內(nèi)塞爾曼在《希臘代數(shù)》中將代數(shù)學(xué)的發(fā)展分成三個(gè)階段：修辭代數(shù)、縮略代數(shù)和符號(hào)代數(shù).

修辭代數(shù)階段，人們沒(méi)有使用符號(hào)表示數(shù)，所有問(wèn)題的解決都用文字來(lái)說(shuō)明，如古巴比倫泥版BM13901上有七個(gè)問(wèn)題，其中第1題是：“將正方形面積與邊長(zhǎng)相加，和為，求邊長(zhǎng).”解法是：置系數(shù)1，半之，得乘，得相加，得1；此為1的平方，從1中減去即為正方形邊長(zhǎng).”

在古希臘，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派（公元前六世紀(jì)）研究了多邊形數(shù)，數(shù)學(xué)家們能輕易說(shuō)出一個(gè)具體的多邊形數(shù).由于不知道字母表示數(shù)，他們無(wú)法表達(dá)“任一三角形數(shù)”.同樣數(shù)列的“通項(xiàng)”概念在修辭代數(shù)里是根本不存在的，所有數(shù)列求和的結(jié)果都是針對(duì)具體的若干項(xiàng).古代兩河流域、阿拉伯的代數(shù)學(xué)均屬于修辭代數(shù).

公元三世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家丟番圖在《算術(shù)》中首次用字母“ζ”來(lái)表示未知數(shù)，于是丟番圖成為縮略代數(shù)最早的作者.在《算術(shù)》第1卷中，第1題是：“已知兩數(shù)的和與差，求這兩個(gè)數(shù).”丟番圖的解法是：假設(shè)和為100，差為40，較小數(shù)為ζ，則較大數(shù)為40+ζ，則2ζ+40=100，故得ζ=30，而較大數(shù)為70.后來(lái)，使用不同的字母表示不同的數(shù)，但是可以看到字母總是表示未知數(shù).由于不知道用字母也可以表示任意已知數(shù)，丟番圖只能用特殊的數(shù)來(lái)代替題中的已知數(shù).

古代印度數(shù)學(xué)家使用縮略的梵文音節(jié)來(lái)表示未知數(shù)，沒(méi)有用縮略音節(jié)來(lái)表示任意數(shù)（包括已知數(shù)和未知數(shù)）.如印度數(shù)學(xué)家婆什伽羅（1114-1185年）和古希臘數(shù)學(xué)家一樣，不會(huì)用字母來(lái)表達(dá)“任意多項(xiàng)”和一般項(xiàng)，只是取一些特殊的項(xiàng)數(shù)，且通項(xiàng)公式和求和公式都是用文字來(lái)描述，因此古代印度的代數(shù)屬于縮略代數(shù).

中國(guó)宋元時(shí)期的數(shù)學(xué)家使用“天元”來(lái)表示未知數(shù)，“二元一次方程”中的“元”指的就是未知數(shù).在“天元術(shù)”中，通過(guò)系數(shù)的縱向有序排列來(lái)表達(dá)多項(xiàng)式，在常數(shù)項(xiàng)右邊標(biāo)一“太”字，或只在一次項(xiàng)系數(shù)的右邊標(biāo)一“元”字，中國(guó)宋元時(shí)期的“天元術(shù)”最多也只能歸入縮略代數(shù).

公元十六世紀(jì)，法國(guó)數(shù)學(xué)家韋達(dá)（1540-1603年）實(shí)現(xiàn)了歷史性的突破，在《分析引論》（1591年）中使用字母來(lái)表示未知數(shù)和已知數(shù).他說(shuō)：“本書(shū)將輔以某種技巧，通過(guò)符號(hào)來(lái)區(qū)分未知量和已知量：用A或其他元音字母I、O、V、Y等來(lái)表示所求量，用B、G、D或其他輔音字母來(lái)表示已知量，始終如一，一目了然”，并將這種新的代數(shù)叫“類的算術(shù)”，以區(qū)別于過(guò)去的“數(shù)的算術(shù)”，“類的算術(shù)”就是符號(hào)代數(shù).規(guī)定了算術(shù)與代數(shù)的分界，認(rèn)為代數(shù)運(yùn)算施行于事物的類或形式，算術(shù)運(yùn)算施行于具體的數(shù).這就使代數(shù)成為研究一般類型的形式和方程的學(xué)問(wèn).法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡爾（1596-1650年）對(duì)韋達(dá)的符號(hào)系統(tǒng)進(jìn)行了改進(jìn).

（二）“縮略代數(shù)”到“符號(hào)代數(shù)”是關(guān)鍵

“縮略代數(shù)”階段以字母表示未知數(shù)為典型特征，丟番圖是這一時(shí)期的典型代表人物.隨后印度數(shù)學(xué)家阿里耶波（476-550年）等雖朝向“符號(hào)代數(shù)”有所接近，但只在字母表示數(shù)的類型與方程解的一般性上做出了貢獻(xiàn)，而不是嘗試表達(dá)“任意數(shù)”.在丟番圖之后一千多年間，歐洲人不僅沒(méi)有進(jìn)步，反而倒退回古巴比倫祭司的水平，即修辭代數(shù)階段.如13世紀(jì)初，意大利數(shù)學(xué)家斐波納契在《計(jì)算之書(shū)》中，依然沒(méi)有用字母來(lái)表示數(shù).16世紀(jì)，意大利數(shù)學(xué)家盡管在方程的求解上取得突破，但仍未利用字母表示數(shù)的便利.塔塔里亞（1499-1557年）為了不遺忘所發(fā)現(xiàn)的三次方程求根公式，自編長(zhǎng)詩(shī).

中世紀(jì)阿拉伯的數(shù)學(xué)家盡管在數(shù)列求和方面取得了卓越的成就，但是他們不會(huì)用字母來(lái)表示數(shù)，他們只能通過(guò)具體的若干項(xiàng)來(lái)說(shuō)明求和的方法.雖然“代數(shù)學(xué)”的名稱源于花拉子米（約780-約850年）的著作，而花拉子米卻用“1平方與10根等于39單位”這樣的語(yǔ)言來(lái)描述一元二次方程x2+10x=39.

“字母表示數(shù)”經(jīng)歷了三千多年的歷史過(guò)程，經(jīng)過(guò)許多數(shù)學(xué)家的探索和完善.誠(chéng)如M.克萊因?qū)Α靶聰?shù)運(yùn)動(dòng)”的批判：從古代埃及人和巴比倫人開(kāi)始直到韋達(dá)和笛卡兒以前，沒(méi)有一個(gè)數(shù)學(xué)家能意識(shí)到字母可用來(lái)代表一類數(shù).因此，這樣的過(guò)渡仍然需要經(jīng)歷緩慢的過(guò)程而非一蹴而就.

（三）學(xué)生學(xué)習(xí)的障礙和困惑

在長(zhǎng)期的算術(shù)學(xué)習(xí)中，學(xué)生形成的認(rèn)知與代數(shù)學(xué)習(xí)有較大的差別，“字母表示數(shù)”意義的多樣性與不確定性是造成學(xué)生學(xué)習(xí)代數(shù)的主要障礙.字母意義的演變過(guò)程為：記數(shù)符號(hào)—未知數(shù)—任意數(shù).隨著人們對(duì)字母意義認(rèn)識(shí)水平的提高，字母表示數(shù)的功能逐步得到發(fā)展與完善，這是一個(gè)漫長(zhǎng)的過(guò)程.因此學(xué)生在學(xué)習(xí)“字母表示數(shù)”的時(shí)候會(huì)遇到許多困難，主要表現(xiàn)為：不同字母可以取同一個(gè)值；同一個(gè)字母在不同時(shí)刻可以取不同的值；同一字母在不同問(wèn)題中可以取不同的值；在同一題中不同的數(shù)要用不同字母表示；字母不一定表示對(duì)象，也可以表示單位（如m可以表示米）等.

（四）根據(jù)歷史，重構(gòu)課堂

1.創(chuàng)設(shè)情境，引入新知

情境1：寫(xiě)一列數(shù)“1，5，9，x，17，21”，請(qǐng)問(wèn)：x表示什么數(shù)？讓學(xué)生體會(huì)，在以前的學(xué)習(xí)中，字母更多地表示特定的未知數(shù).

情境2：例如，一只白兔四條腿，兩只白兔八條腿……

師：你們能一直讀下去嗎？

生1：三只白兔十二條腿，四只白兔十六條腿……

師：能不能用一句話表示這首歌？

生2：a只白兔4×a條腿.

生3：b只白兔4×b條腿.

生4：x只白兔4×x條腿.

師：大家的想法比較一致，用字母表示.為什么這里的“4”不用字母表示？

生4：每只白兔有4條腿，這是不變的.

師：用字母表示數(shù)不是簡(jiǎn)單地用字母代替數(shù)，可以把變化的量用字母表示，不變的量照寫(xiě).

師：剛才我們說(shuō)的十二、十六都是其中的一種情況，那現(xiàn)在的“4×x”呢？

生5：所有的情況.

生6：各種不同的情況.

師：這里的字母表面上看只是一個(gè)字母，但是它可以代表無(wú)數(shù)個(gè)數(shù).

師：回想一下剛才我們所經(jīng)歷的過(guò)程，你覺(jué)得字母只是代表特定的未知數(shù)嗎？

生：不是.

師：那現(xiàn)在代表什么？

生7：不是特定的.

生8：不確定了.

生9：是變化的.

生10：表示許多數(shù)了.

師：對(duì)！現(xiàn)在字母表示的是變化的未知數(shù).此時(shí)的字母可以表示任意數(shù)嗎？

生11：不可以.

師：對(duì)，只能是什么數(shù)？

生11：正整數(shù).

師：那字母還只是表示未知數(shù)嗎？

生11：不只是，可以表示已知數(shù)了.

師：既然是已知數(shù)，為什么還要用字母表示？

生11：因?yàn)檎麛?shù)很多，我們不能確定它到底是多少.

生12：因?yàn)樗泻芏鄠€(gè).

師：這樣的數(shù)太多了，用一個(gè)字母把它們都概括進(jìn)來(lái)了.由此可知，字母可以表示：特定的未知數(shù)、變化的未知數(shù)、已知數(shù).

2.自主探索，展示過(guò)程

師：我們來(lái)數(shù)由正方形組成的幾個(gè)圖形中火柴棒的根數(shù)！

師：這些圖形中分別有多少根火柴棒？

生1：4根、7根、10根、……

師：如果擺10個(gè)這樣的小正方形，又有多少根火柴棒？

生2：31根火柴棒，我是畫(huà)圖一根一根數(shù)出來(lái)的.

師：很好，你完成得很認(rèn)真.還有其他的方法嗎？

生3：如果有200個(gè)這樣的正方形，我們畫(huà)圖形去數(shù)，這方便嗎？這個(gè)方法肯定不是最科學(xué)的.我認(rèn)為應(yīng)該尋找規(guī)律，這個(gè)問(wèn)題就像我們鋸木材：每個(gè)正方形相當(dāng)于一段木頭，而除了兩端的兩根火柴棒外，中間的都相當(dāng)于鋸口，而且鋸口數(shù)正好是木頭段數(shù)減去1.所以應(yīng)該用4乘以正方形個(gè)數(shù)再減去重疊的火柴棒的根數(shù)，就是4× 10-（10-1）＝31.

師：還有其他的方法嗎？

生4：我還有另一種方法，結(jié)果也得31.

師：說(shuō)說(shuō)你的看法！

生4：既然有10個(gè)這樣的正方形，那么上面應(yīng)有10根火柴棒，下面也有10根，而中間的算法與之類似，不過(guò)應(yīng)該比木頭段數(shù)多1，是11根，這樣2×10+11＝31.

師：大家聽(tīng)懂了嗎？

生眾：聽(tīng)懂了.

生5：我認(rèn)為他們的辦法太麻煩了.既然是10個(gè)正方形組成的圖形，用手把最左邊的那根火柴棒蓋上不看，右邊就是10個(gè)由3根火柴棒組成的框，就是10×3，再加上1根，這樣10×3+1=31.不論由多少個(gè)正方形組成的圖形，用這種方法都能算出來(lái)，就是用3乘以正方形個(gè)數(shù)再加上1.

師：你們的想法都很不錯(cuò).既然你們談到任何多個(gè)正方形組成的圖形，那么我們?cè)鯓颖硎救魏味鄠€(gè)正方形呢？

生6：任何多個(gè)，就是大家也不知道有多少個(gè)，用小學(xué)時(shí)學(xué)過(guò)的x吧！

生7：我們還可以用m、n、….

師：如果擺x個(gè)正方形，那么需要多少根火柴棒？

生3：按我的方法，應(yīng)該是4x-（x-1）.

生4：按我的想法，應(yīng)該是2x+（x+1）.

生5：按我的想法，應(yīng)該是3x+1.

師：這三種方法都表示了這個(gè)問(wèn)題的結(jié)論，用字母表示的好處是什么？

生8：這樣更具有一般性.

師：那么以前我們學(xué)過(guò)的加法交換律、結(jié)合律，乘法交換律、結(jié)合律，簡(jiǎn)單圖形的周長(zhǎng)、面積公式，可以用字母表示嗎？

生：當(dāng)然可以，不過(guò)要用到很多字母.

3.拓展延伸，鞏固新知

師：下面的練習(xí)是“編故事”.故事的主角是“a×5”.如果a表示一張桌子的重量，那么a×5表示什么意義？

生1：5張桌子的重量.

師：而且是5張同樣的桌子的重量.哪個(gè)同學(xué)來(lái)編？

（學(xué)生們用a代表各種數(shù)量，說(shuō)了“a×5”的含義）

師：大家把“a×5”講得這樣豐富多彩，老師也來(lái)講個(gè)這方面的歷史故事.

師：在歷史上，數(shù)量和數(shù)量之間的關(guān)系，我們?nèi)祟愖畛跏怯梦淖直磉_(dá)的（如：每張重量×5，每段長(zhǎng)度×5，每組人數(shù)×5）.用文字來(lái)表達(dá)，顯然比較煩瑣.因而，古希臘數(shù)學(xué)家丟番圖想到了用“縮略”的方法來(lái)表示.仿照丟番圖的方法，這里的“每個(gè)重量×5”，取“重”發(fā)音的第一個(gè)字母，表示成“z×5”.那么“每段長(zhǎng)度×5”和“每組人數(shù)×5”怎樣用縮略的方法表示？

生2：c×5和r×5.

師：丟番圖用字母的縮略形式來(lái)表示數(shù)量間的關(guān)系，雖然簡(jiǎn)潔了，但每個(gè)字母都表示特定的意思，不能把c×5和r×5等同，所以并沒(méi)有給研究數(shù)學(xué)帶來(lái)更多方便.到了16世紀(jì)，法國(guó)數(shù)學(xué)家韋達(dá)想，如果把各種情境中字母的特定意思都去掉，不都是一個(gè)數(shù)和5相乘嗎？所以韋達(dá)就表示成了a×5.這里的a還是特定的意思嗎？

生眾：不是！

師：對(duì)，字母a已經(jīng)不表示任何具體的意義，只是一個(gè)符號(hào)而已.自從韋達(dá)把字母當(dāng)作符號(hào)來(lái)表示數(shù)之后，許多數(shù)學(xué)難題得到解決，數(shù)學(xué)獲得飛速發(fā)展，韋達(dá)被稱為現(xiàn)代代數(shù)學(xué)之父.

4.實(shí)踐應(yīng)用，歸納小結(jié)

例1（1）若長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為7cm，寬為xcm，則周長(zhǎng)為_(kāi)______cm，面積為_(kāi)______cm2.

（2）甲、乙兩地相距s千米，某人從甲地到乙地步行要t小時(shí)，現(xiàn)要求他提前30分鐘到，此人步行的速度為_(kāi)______千米/時(shí).

例2已知兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差，求這兩個(gè)數(shù).

補(bǔ)充：修辭代數(shù)解法：其中一個(gè)數(shù)是和與差的和的一半，另一個(gè)數(shù)是和與差的差的一半.

縮略代數(shù)的解法：以丟番圖的解法為代表.設(shè)和為100，差為40，較小數(shù)為x，則較大數(shù)為x+40.這樣就有x+x+ 40=100，從而得x=30，30+40=70，因此兩數(shù)分別為70、30.

符號(hào)代數(shù)的解法：以韋達(dá)的解法為代表.設(shè)和為a，差為b，又設(shè)較小數(shù)為x，則較大數(shù)為x+b，于是x+x+b=a，故得因此兩數(shù)分別為

（五）總結(jié)

1.用字母表示數(shù)的特點(diǎn)

字母表示數(shù)更能反映事物的一般性；字母的取值應(yīng)使式子有意義且符合實(shí)際情況.

2.字母表示數(shù)時(shí)應(yīng)注意的問(wèn)題

同一問(wèn)題中，不同的量要用不同的字母表示；不同的問(wèn)題中，不同的量可以使用相同的字母表示，但字母的含義不同.

（六）作業(yè)

P79：1，2，P80：3.

1.涂榮豹，寧連華.中學(xué)數(shù)學(xué)經(jīng)典教學(xué)方法［M］.福州：福建教育出版社，2011.

2.鄭毓信，王憲昌，蔡仲.數(shù)學(xué)文化學(xué)［M］.成都：四川教育出版社，2001.

3.李文林.數(shù)學(xué)史教程［M］.北京：高等教育出版社，施普林格出版社，2000.

4.李迪，主編.中外數(shù)學(xué)史教程［M］.福州：福建教育出版社，1993.