從激活到升華：積累數學活動經驗的基本路徑*
——探索三角形相似的條件（3）教學片斷賞析與思考

☉江蘇省泰州市教育局教研室 錢德春

☉江蘇省泰州市姜堰區實驗初級中學 石建華

從激活到升華：積累數學活動經驗的基本路徑*
——探索三角形相似的條件（3）教學片斷賞析與思考

☉江蘇省泰州市教育局教研室 錢德春

☉江蘇省泰州市姜堰區實驗初級中學 石建華

《義務教育課程標準·數學》（2011年版）［1］（以下簡稱“課程標準”）指出：“數學活動經驗的積累是提高學生數學素養的重要標志.幫助學生積累數學活動經驗是數學教學的重要目標，是學生不斷經歷、體驗各種數學活動過程的結果.數學活動經驗需要在‘做’的過程和‘思考’的過程中積淀，是在數學學習活動過程中逐步積累的.”江蘇省“十二五”重點規劃資助課題《基于積累初中生“數學基本活動經驗”的教學設計研究》正是從積累數學活動經驗的視角來研究課堂教學的基本路徑，將初中數學課堂分為經驗激活、經驗積累、經驗遷移與經驗升華等活動經驗的四個層次.那么，基于積累初中生“數學基本活動經驗”的教學設計有何特征、四個層次相互關系如何、對課堂教學有何意義，本文以蘇科版義務教育實驗教科書·數學八年級（下）［2］第十章第4節“探索三角形相似的條件（3）”為例，結合課堂教學路徑的探微與賞析，談談筆者的幾點思考.

一、基于積累活動經驗的教學路徑探微

這是2013年泰州市教育局組織的“名師送教下鄉”活動中的一節觀摩課，教者根據活動經驗的四個板塊設計并實施課堂教學.

1.經驗激活

教學片斷1如下所示.

師：同學們，今天我們繼續來探索三角形相似的條件.（板書課題：探索三角形相似的條件（3））

師：老師這里有幾個問題，同學們有興趣和膽量來挑戰嗎？

生（異口同聲）：有.

師：問題1：如圖1，在△ABC中，點M、N分別是AB、AC的中點，連接MN.△AMN與△ABC相似嗎？為什么？

圖1

生1：因為MN是△ABC的中位線，所以MN∥BC，根據平行于三角形一邊的直線與其他兩邊相交，所構成的三角形與原三角形相似，可知△AMN∽△ABC.

生3：因為MN是△ABC的中位線，所以MN∥BC，所以∠AMN=∠B，而∠A為公共角，根據兩角對應相等的兩個三角形相似，可知△AMN∽△ABC.

師：剛才3位同學不僅找到了證明思路，而且還清晰、完整地表達出來了，很好！上面的3種思路實際上是我們已經學習過的“說明三角形相似”的3種條件，誰再說一遍？

生4：（略）.

【賞析】通過一個簡單問題的解決，激活學生已有認知經驗，為積累更高層次的活動經驗奠定基礎.本節課之前學生已有了說明三角形相似的經驗（方法）：①平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或延長線）所得的三角形與原三角形相似；②有兩角對應相等的兩個三角形相似；③兩邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似.本節課的核心知識是三角形相似的條件（3）：“三邊成比例的兩個三角形相似”，教師設計了問題1，并通過一題多證的活動，旨在激活學生已有的經驗，為探究新知作鋪墊.

2.經驗積累

教學片斷2如下所示.

師：△ABC與△AMN三邊之間存在什么關系？對應邊的比值是多少？

生5：△AMN≌△DEF.

師：能說明理由嗎？

圖2

師：你的說理很到位，那么△ABC與△DEF之間又是什么關系呢？

生5：相似，因為△AMN≌△DEF，△AMN∽△ABC，從而△ABC∽△DEF.

師：在說明△ABC與△DEF相似的過程中，你認為哪一步至關重要？

生5：找出△AMN，因為這個三角形既與△ABC相似，又與△DEF全等.

師：對，△AMN既與△ABC相似，又與△DEF全等，它相當于是一座橋梁，溝通了△ABC與△DEF的關系.

【賞析】數學學習是一個不斷積累新經驗的活動過程，“多次經歷類似的數學活動，學生就會將在前一活動中獲得的經驗運用于新活動中，‘還原’前一活動經驗于新活動中的數學對象……獲得進一步的數學活動經驗.”［3］“經驗積累”過程是提出并解決新問題、積累新經驗的過程.“有效利用學生已有的經驗，展開課堂教學，提高學生的數學學習能力，可以滋長新的數學學習經驗.”［4］這個板塊中，首先由“問題1”的結論得到“兩個相似三角形三對應邊的比都為2”，進而提出逆命題自然而然引出“問題2”，然后將三角形相似的判定方法1、2的證明思路（將問題轉化為△ABC與△AMN相似、△DEF與△AMN全等）運用于“問題2”的解決.教師從特殊位置入手，通過搭建腳手架，讓學生拾階而上，強化了已有經驗的積累，并為新經驗的形成做好準備.

3.經驗遷移

圖3

教學片斷3如下所示.

師：回答得太好了，你是如何想到的呢？

生7：是由“點M、N分別是AB、AC的中點”情形的證明過程得到啟發，也是找到了一個橋梁△AMN，先證明△ABC∽△AMN，再證明△AMN≌△DEF，從而得到△ABC∽△DEF.

師：這種思維方式很好！當我們直接證明△ABC∽△DEF困難時，想到借鑒“問題2”的思路，即建立橋梁溝通△ABC與△DEF的關系，就是把要解決的問題轉化為已經解決的問題，這其實就是方法的遷移.

【賞析】遷移能力是一種重要的創新能力.“第一次數學活動中獲得原初經驗；第二次遇到相同情景時，經驗再現，稱為再生經驗；再次遇到類似情景時，遷移運用先前經驗，產生再認識經驗；在形式不同、本質一樣的新情況下，按照‘模式’重復運用這種經驗時，這種經驗就成為概括性經驗.”［5］這個過程中，學生在教師引領、同伴互助、研討交流活動中，運用類比的方法將解決“問題2”的活動經驗成功地遷移到“問題3”的解決中，并自主地完成思路分析與說理過程.這個過程就是“經驗遷移”過程.

4.經驗升華

教學片斷4如下所示.

圖4

生眾：相似.

師：由此我們可以大膽地猜想出說明三角形相似的又一種方法.誰仿照三角形相似的條件（1）、（2）描述一下？

生8：如果一個三角形的三條邊與另一個三角形的三條邊對應成比例，那么這兩個三角形相似.

師：大家先獨立思考一下，再請同學們說說自己的想法.（學生自主思考3分鐘）

生9：老師，感覺這個問題無從下手.

師：為什么會有這種感覺？

生9：因為這個圖和剛才的圖不一樣.

師：不一樣在何處？

生9：剛才的圖中都有△AMN，而這個圖中沒有.

師：非常好.

生9（莫名其妙）：老師，我還沒回答出問題，你怎么還夸我非常好啊？

師：你能找出圖形間的差異，而這個差異恰恰就是解決問題的關鍵，當然要表揚你！

（生9摸了摸頭，憨厚地笑了）

師：你能不能想出什么辦法讓這個圖與前面的圖類似呢？

生9：構造出△AMN.

師：如何構造呢？

生9：分別在邊AB、AC上截取AM=DE，AN=DF，連接MN，這樣就出現了△AMN.

師：太棒了！有了△AMN后，我們又該怎么辦呢？

生9：和前面的方法類似，先說明△AMN與△ABC是相似的，再說明△AMN與△DEF是全等的，這樣就可以知道△ABC與△DEF是相似的.

師：又該如何來說明△AMN與△DEF是全等的呢？

【賞析】“概括性經驗在多次調用、反思后才能內化為經驗圖式.”［4］從這個教學片斷看出，由“問題3”到“問題4”，提出了更一般化的結論和猜想.有了前面的經驗激活、積累與遷移過程，“問題4”的證明水到渠成，數學活動經驗也得到了升華.經驗有時可能只是淺表的、直覺的、不穩定的，有時只能意會卻難以言表.教師的作用就在于通過恰到好處的追問、點撥、提煉，引導學生將數學活動經驗升華為數學的方法、策略和思想.

二、基于積累活動經驗的課堂教學思考

1.從激活到升華是經驗積累的基本路徑

激活、積累、遷移、升華是基于積累數學基本活動經驗的初中數學課堂的基本特征與教學路徑.“經驗激活”環節就是從學生的認知基礎與認知結構出發，通過設計恰當的問題（或情境），喚起與激活學生原有的認知經驗，為進一步積累新經驗、探究新知識作好鋪墊；“經驗積累”即在解決原有問題基礎上自然生成新問題，并通過搭建腳手架，讓學生拾階而上，在解決問題過程中積累新的經驗；“經驗遷移”環節則是學生通過教師引領、同伴互助的學習方式將已有的活動經驗用類比、轉化的方法遷移到新的數學問題的解決之中，這個過程的主要特點是同化與順應；“經驗升華”是課堂教學的關鍵，是將學生的感受、體驗和感悟升華為數學的方法、策略、思想和思維習慣.四個層次的板塊都以活動為載體.經驗與活動緊密相連，活動是經驗的源泉，經驗在活動中獲得，也在活動中發展.數學活動經驗既是教學目標也是教學內容，既是學習過程也是學習結果.

2.從感性到理性是經驗積累的必然選擇

“經驗是個體在認識事物、解決問題等活動過程中獲得的關于對象的觀點、看法、做法等.從學生認知的角度，經驗是個體獲得知識、方法之前必然面對的事物”［6］，數學活動經驗是指“在數學目標的指引下，通過對具體事物進行實際操作、考察和思考，從感性向理性飛躍時所形成的認識.”［7］數學活動經驗的激活、積累、遷移與升華的過程是逐層遞進、有時還是交替提升的過程，這個過程以知識生成為線索，以數學的方法提煉、思想滲透、思維發展、情感升華為目標，只有經過組織和內化，才能把感性的經驗轉化為理性的知識（這里的知識是廣義的），即“將活動經驗轉化為學習能力，最終獲得極具個性特征的感性認識、情感體驗、數學意識、數學能力和數學素養.”［8］因此，數學活動經驗最終要實現三個方面的升華：一是將淺表層面的經驗升華為本質的經驗；二是將特殊（個體）的經驗升華為一般（普遍）的經驗；三是將感性（會意、直觀）的經驗升華為理性（演繹、表征）的經驗.我們熟悉的“七橋問題”，哥尼斯堡的民眾通過若干實驗都沒能解決，而歐拉敏銳洞察到該問題與所走過的路程長度無關，把七座橋抽象為七條線，從而將問題抽象為一筆畫問題得到解決.這正是歐拉將淺表的、感性的經驗升華為本質的理性經驗的結果.

3.從“支架”到“放手”是經驗積累的教學方略

立足課堂活動并獲得經驗的遷移與升華，是基于積累數學基本活動經驗的初中數學課堂的顯著特征.“學生數學學習的過程是建立在經驗基礎之上的一個自我再創造（或創新構造）過程.在這一過程中，學生通過多樣化的活動，不斷獲得、積累經驗，分析、理解、反思經驗，從而獲得發展.”［9］由探索初期的“經驗激活”到“經驗積累與遷移”，教師通過建立“腳手架”，適時點撥和提示，引導學生逐步攀升，讓學生嘗試自己發現并提出問題、分析并解決問題，提煉數學思想、方法和策略，實現“經驗升華”，充分體現了課堂“收”“放”的教學方略.這個過程中，教師對學生在知識構建過程中的“支架式”幫助是不可或缺的，這是“收”的策略；隨著教學活動的逐步深入，教師所提供的支架自然撤去，教師的“幫助”逐漸弱化，讓位于學生的自主活動，還給學生自由發揮的空間，讓學生獨立分析和解決問題，這是“放”的藝術.一“收”一“放”之間，體現了教師的教學智慧.

4.自上而下結構是經驗積累的思維指向

思維是數學的體操，數學活動經驗積累最終要指向思維.本節課以學生已有的經驗為起點，通過搭建腳手架，讓學生拾階而上，在解決問題過程中積累、遷移并升華新經驗，這是一種自下而上、由易到難、逐步生成的教學方法.需要指出兩點：一是學生不明白為什么要研究這些問題，即學習的價值何在，只是沿著教師預設好的路徑前行.事實上，“學生只有在感受到新異、沖突和不足時，才會產生一種認知和情感方面的需要.”［3］二是“拾階而上”的方法缺少挑戰性，不利于創新思維能力的培養.修改后的“課程標準”將原課程標準的課程目標之一的“解決問題”變為“問題解決”，在“分析問題、解決問題”之前增加了“發現問題、提出問題”，正是著眼于學生創新能力的培養.基于此，在“經驗激活”環節，可以先啟發學生提出富有挑戰性的問題（或情境），引起學生的憤悱與困惑，進而激發學生思考，這種自上而下的問題結構直指數學思維.本節課問題引入部分可設計如下問題鏈.

（1）前面我們學過的三角形相似的條件有哪些？

（2）三角形相似的條件（1）、（2）分別是怎樣得到的？對應于三角形全等的哪個定理？

（3）三角形全等的判定還有什么？

（4）你能類比三角形全等的“SSS”判定方法，提出三角形相似判定的新命題嗎？

（5）你提出的命題正確嗎？

問題提出之后，繼續沿著從經驗激活到升華的路徑前行，當學生力所不能為時，可以逐步將問題分解、后退，直至學生思維能及之處，這種設計契合了課程標準倡導的理念，強化了數學活動經驗的思維指向.

1.中華人民共和國教育部制定.義務教育數學課程標準（2011年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2012.

2.楊裕前，董林偉.義務教育實驗教科書·數學［M］.南京：江蘇科技出版社，2012.

3.仲秀英.促進學生積累數學活動經驗的教學策略［J］.數學教育學報，2010（10）.

4.汪佃才.“數學基本活動經驗”來自數學活動［J］.中學數學（下），2014（5）.

5.仲秀英.數學活動經驗研究［D］.重慶：西南大學數學系，2008.

6.馬復.關于促進學生數學活動經驗的教學認識［J］.中國數學教育，2011（10）.

7.徐斌艷.面向基本數學活動經驗的教學設計［J］.中學數學月刊，2011（2）.

8.蔡衛兵.轉化引領割補搭橋相似突破——品悟勾股定理證明的合理思維與自然證法［J］.中學數學（下），2014（5）.

9.黃翔，童莉.獲得數學活動經驗應成為數學課堂教學關注的目標［J］.課程·教材·教法，2008（1）.

*此文系江蘇省重點資助規劃課題《基于積累初中生“數學基本活動經驗”的教學設計研究》（批準號E-a/2011/07）的研究成果．