在生成過程中獲取真知
——正比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)的教學(xué)設(shè)計與點評

☉重慶市教育科學(xué)研究院 張曉斌

☉重慶市璧山中學(xué)王偉

在生成過程中獲取真知
——正比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)的教學(xué)設(shè)計與點評

☉重慶市教育科學(xué)研究院 張曉斌

☉重慶市璧山中學(xué)王偉

一、寫在前面

由正比例函數(shù)的解析式畫出函數(shù)圖像，再由正比例函數(shù)的圖像歸納出正比例函數(shù)的性質(zhì)，是研究特殊函數(shù)的途徑，對以后研究其他一般函數(shù)都有積極的意義.由于是學(xué)生初次研究一種特殊函數(shù)的圖像及其性質(zhì)，教學(xué)中要特別注意處理好以下問題.

1.處理好為什么正比例函數(shù)的圖像是一條直線

圖像是研究函數(shù)性質(zhì)的基礎(chǔ)，尤其是畫第一個函數(shù)y=2x的圖像時，人教版八年級下冊教材只選取了（-3，-6）、（-2，-4）、（-1，-2）、（0，0）、（1，2）、（2，4）、（3，6）等這樣的7個整數(shù)點的坐標，通過觀察這幾個點的坐標位置，判斷正比例函數(shù)的圖像是一條直線.但作為初學(xué)者是否會產(chǎn)生這樣的疑問：這些整數(shù)點之間是否是曲線連接的呢？為此，可在點（0，0）與（1，2）之間的一段采用“逐步細化”的方法：（1）在（0，0）與（1，2）之間找出10等分點，畫出y= 2x的圖像的一段；（2）在（0，0）與（1，2）之間找出20等分點，畫出y=2x的圖像的一段；依次類推，乃至100等分點、1000等分點、…，從而說明點（0，0）與（1，2）之間是直線連接起來的.在這個過程中，由具體一段函數(shù)圖像的變化研究，讓學(xué)生體驗，隨著點數(shù)的不斷增加，讓學(xué)生體會正比例函數(shù)的圖像是如何由曲線變成直線的，進而說明y=2x的圖像是一條直線.如果沒有這樣的“逐步細化”的過程，是很難說明正比例函數(shù)的圖像是一條直線的.

2.處理好“數(shù)形結(jié)合”思想方法的滲透

“數(shù)形結(jié)合”思想方法是研究函數(shù)的一般方法，提出如下問題供學(xué)生思考，一是從數(shù)看形：（1）在畫函數(shù)圖像時，使函數(shù)圖像位置發(fā)生變化的量是x、y、k中的哪個量？（2）這個量是如何影響正比例函數(shù)值的變化和正比例函數(shù)圖像的呢？（3）為什么k＞0時，圖像經(jīng)過一、三象限？為什么k＜0時，經(jīng)過二、四象限？二是從形看數(shù)：當(dāng)圖像經(jīng)過一、三象限時，你能獲得哪些信息？經(jīng)過二、四象限呢？這個過程中要使學(xué)生充分發(fā)表意見，最好采取小組交流、合作討論的形式，盡可能得出更多的結(jié)論，這樣學(xué)生對正比例函數(shù)的認識才是全面的、深刻的.

二、教學(xué)目標

（1）了解正比例函數(shù)的圖像是一條直線，理解正比例系數(shù)與圖像之間的關(guān)系，掌握由兩點法畫正比例函數(shù)圖像的方法，能運用正比例函數(shù)的性質(zhì)解決有關(guān)問題.

（2）經(jīng)歷畫正比例函數(shù)圖像的過程，體會由“數(shù)”到“形”的數(shù)學(xué)思想，通過歸納正比例函數(shù)的性質(zhì)，體會由“形”到“數(shù)”的數(shù)學(xué)思想.

（3）從數(shù)和形的角度理解正比例函數(shù)，體會“數(shù)形結(jié)合”解決問題的思想方法.

（4）培養(yǎng)學(xué)生嚴謹?shù)乃伎紤B(tài)度，仔細觀察、抽象的能力和合作交流的意識，多角度認識性質(zhì)的思考方法.

三、教學(xué)重點和難點

重點：通過畫出正比例函數(shù)圖像的過程，從“數(shù)”和“形”的角度理解正比例函數(shù)的性質(zhì).

難點：在正比例函數(shù)圖像生成中，理解為什么正比例函數(shù)的圖像是一條直線.

四、教學(xué)準備

多媒體課件，多張帶網(wǎng)格的平面直角坐標系紙（保證學(xué)生畫出圖像的一致性）.

五、教學(xué)設(shè)計

活動1：創(chuàng)設(shè)情境

（1）在下列函數(shù)中，哪些是正比例函數(shù)？正比例系數(shù)分別是多少？

（2）畫函數(shù)的圖像需要經(jīng)歷哪些步驟？

（3）你們能依據(jù)這些步驟畫出以上正比例函數(shù)的圖像嗎？

師生行為：在學(xué)生回答問題（1）和（2）時，教師要關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)本課的基礎(chǔ)是否扎實，若有問題及時彌補.

設(shè)計意圖：通過問題（1）識別正比例函數(shù)的意義及其系數(shù)；問題（2）是畫函數(shù)圖像步驟的復(fù)習(xí)，都是本課學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，是正比例函數(shù)的圖像及其性質(zhì)得以繼續(xù)研究的保證；問題（3）主要是過渡語，能夠過渡到本課即將學(xué)習(xí)的內(nèi)容.

活動2：畫函數(shù)圖像

（1）正比例函數(shù)y=2x的自變量的取值范圍是什么？你們能取完自變量x的所有值嗎？

（2）如果不能，你們認為在列出的表格中自變量x取哪些值合適？

（3）填表1：

表1

（4）請你們在準備的直角坐標系中描出這些點，觀察這些點擺放有何規(guī)律.

（5）你們能保證以上兩點之間一定是直線連接的嗎？以點（0，0）與（1，2）之間為例，說明為什么是直線連接的.

（6）要解決問題（5），我們進行如下研究：

①讓學(xué)生在（0，0）與（1，2）之間描出10等分點（如表2），畫出y=2x的圖像的一段；

表2

②讓學(xué)生在（0，0）與（1，2）之間結(jié)合表2描出20等分點（如表3），畫出y=2x的圖像的一段；

表3

③如果我們不斷找下去，找100等分點呢？1000等分點呢？可以發(fā)現(xiàn)（0，0）與（1，2）之間是靠什么線連接的？那么其他兩個整數(shù)點之間又是靠什么線連接的呢？

④通過以上探究，你們發(fā)現(xiàn)正比例函數(shù)y=2x的圖像是什么？

（7）請你們通過描出適當(dāng)?shù)狞c，在上面的直角坐標系中畫出正比例函數(shù)y=x的圖像，觀察它的圖像是什么.

（8）請你們再次通過描出適當(dāng)?shù)狞c，在另一個直角坐標系中畫出正比例函數(shù)y=-x和y=-2x的圖像，觀察它的圖像是什么.

師生行為：在解決問題（1）至問題（5）的過程中，學(xué)生描點時，教師要提醒學(xué)生描點要準確、細致，以便于得到初步的結(jié)論——這幾個整數(shù)點在同一條直線上.解決問題（6）時，特別注意學(xué)生通過在（0，0）與（1，2）之間逐步細化描點，體會到正比例函數(shù)的圖像是直線.解決問題（7）和問題（8）時，讓學(xué)生獨立畫圖，自己驗證這些結(jié)論，同時感受正比例系數(shù)的變化對函數(shù)圖像的影響，以利于性質(zhì)的總結(jié).

設(shè)計意圖：（1）通過先描出表1中的整數(shù)點，用直尺比劃，可以得出一個初步感知——正比例函數(shù)的圖像是直線，再通過（0，0）與（1，2）之間的一段逐步細化的方法，讓學(xué)生確定結(jié)論——正比例函數(shù)的圖像是一條直線.

（2）通過問題（7）和問題（8）的驗證，加深理解“正比例函數(shù)的圖像是一條直線”這一結(jié)論，同時發(fā)現(xiàn)隨著正比例系數(shù)的變化，函數(shù)圖像的變化特點，以利于全面總結(jié)正比例函數(shù)的性質(zhì).

活動3：總結(jié)性質(zhì)

（1）正比例函數(shù)的圖像都是經(jīng)過_________點的直線，那么你們畫正比例函數(shù)的圖像有什么簡便方法？為什么？你們一般選取哪些點畫它的圖像呢？

（2）在畫正比例函數(shù)的圖像時，使函數(shù)圖像位置發(fā)生變化的量是x、y、k中的哪個量？

（3）這個量是如何影響正比例函數(shù)的函數(shù)值的變化的？又是如何影響正比例函數(shù)圖像的呢？請你們分情況具體說一說.

（4）為什么k＞0時，圖像經(jīng)過一、三象限，而k＜0時，圖像卻經(jīng)過二、四象限？

（5）當(dāng)正比例函數(shù)圖像經(jīng)過一、三象限時，你們能獲得哪些信息？經(jīng)過二、四象限呢？

師生行為：教師要重點關(guān)注：（1）回答問題（1）時，關(guān)注畫圖過程的基本活動經(jīng)驗的積累；（2）回答問題（2）-（4）時，要看學(xué)生是否準確表述正比例系數(shù)k對函數(shù)圖像有何影響；（3）回答問題（5）時，讓學(xué)生充分思考和交流，盡可能得出更多的信息（如k＞0時，k越大，直線與x軸正半軸的夾角就越大等）.

設(shè)計意圖：問題（2）-（4），是從“數(shù)”看形，問題（5）是從“形”看“數(shù)”，即從”數(shù)形結(jié)合”的角度看正比例函數(shù)，有利于學(xué)生全面掌握和認識正比例函數(shù)，為后面的練習(xí)打下基礎(chǔ).

師生行為：教師重點觀察在畫圖過程中學(xué)生能否用最簡單的方法正確畫出函數(shù)的圖像.

設(shè)計意圖：用兩點法畫正比例函數(shù)的圖像是研究函數(shù)的基礎(chǔ)，體會簡便方法對畫正比例函數(shù)的圖像的好處.

活動5：鞏固練習(xí)

（1）若正比例函數(shù)y=（k-3）x滿足下列條件，求出k的取值范圍.

①y隨x的增大而增大；

②圖像經(jīng)過一、三象限；

③圖像如圖1所示.

圖1

（2）下列圖像中是函數(shù)y=-1.2x的大致圖像的是（）.

活動4：初步練習(xí)

用你們認為最簡單的方法畫出下列函數(shù)的圖像：

圖2

參考答案：（1）①k＞3；②k＞3；③k＜3.（2）D

師生行為：教師要關(guān)注學(xué)生對語言描述、數(shù)學(xué)符號和圖像信息之間的轉(zhuǎn)化能力，最好請學(xué)生解釋其中的原因，教師加以點評.

設(shè)計意圖：鞏固正比例函數(shù)的性質(zhì)，問題（1）在于強化語言描述、數(shù)學(xué)符號和圖像信息之間的轉(zhuǎn)化能力，問題（2）在于理解函數(shù)圖像及其性質(zhì).

活動6：課堂小結(jié)與作業(yè)布置

課堂小結(jié)：（1）從數(shù)看：若正比例函數(shù)為y=kx（常數(shù)k≠0），k對函數(shù)值的變化有何影響呢？對函數(shù)圖像又有何影響呢？

（2）從形看：若正比例函數(shù)y=kx（常數(shù)k≠0）的圖像經(jīng)過一、三象限，那么你們可以得出什么信息？若經(jīng)過二、四象限呢？

作業(yè)布置：教材習(xí)題.

補充：

（1）已知y關(guān)于x的正比例函數(shù)y=（2-k）x的圖像經(jīng)過一、三象限，則下面說法不正確的是（）.

A.圖像是經(jīng)過原點的直線

B.y隨x的增大而減小

C.圖像經(jīng)過二、四象限

D.圖像從左到右呈上升趨勢

（2）已知y關(guān)于x的正比例函數(shù)y=（k+3）x|k|-4，且y隨x的增大而減小，那么k=________.

（3）若y=k1x、y=k2x、y=k3x、y=k4x的圖像如圖3所示，則下列不等關(guān)系正確的是（）

A.k1＜k2＜k3＜k4

B.k2＜k1＜k4＜k3

C.k4＜k2＜k1＜k3

D.k4＜k2＜k3＜k1

圖3

參考答案：（1）D（2）-5（3）C

師生行為：總結(jié)本課所學(xué)內(nèi)容時，教師要看學(xué)生從數(shù)和形兩個角度去總結(jié)正比例函數(shù)的圖像及其性質(zhì).

設(shè)計意圖：總結(jié)是為了進一步培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合的意識，補充習(xí)題則是更全面理解所學(xué)知識，靈活解決問題.

六、本課點評

本課是學(xué)生真正意義上第一次研究函數(shù)圖像及其性質(zhì)，其研究方法與途徑對以后學(xué)習(xí)和研究其他函數(shù)圖像和性質(zhì)提供了基礎(chǔ).從本課教學(xué)來說，其本質(zhì)是從數(shù)和形的角度研究正比例函數(shù)，重點是正比例函數(shù)的性質(zhì)，難點是畫出正比例函數(shù)的圖像，作者在設(shè)計本課時的一些做法值得廣大讀者思考.

1.為什么正比例函數(shù)的圖像是直線的思考

正比例函數(shù)的圖像是直線，它是用直線把一些特殊的點連接起來，這是正比例函數(shù)的難點，至于為什么只能用直線連接起來，而不是用曲線連接，教材中沒有給出合理的解釋.而本課的教學(xué)中，教師讓學(xué)生從正比例函數(shù)的一段圖像入手，經(jīng)歷由較少點連接到用較多點連接的過程，讓學(xué)生慢慢體會、領(lǐng)悟正比例函數(shù)的圖像由“曲”變直的過程，這對初學(xué)畫正比例函數(shù)圖像的學(xué)生來說十分重要，這才是真正意義上對函數(shù)圖像的學(xué)習(xí)！這種逐步細化的方法，對畫一次函數(shù)、雙曲線和拋物線等函數(shù)圖像都提出了理性的思考，對培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴密性是十分必要的.

2.正比例函數(shù)的圖像為什么分布在一、三或二、四象限的思考

這個問題我們調(diào)查過一些學(xué)生，學(xué)生回答的結(jié)果如下：①在一、三象限，y隨x的增大而增大，在二、四象限，y隨x的增大而減??；②圖像在一、三象限k＞0，圖像在二、四象限k＜0；③從圖像上看出來的.這些說法都是從圖像上去看的，都不是問題的本質(zhì)，圖像只是一個結(jié)果的展示而已，即在圖像生成之后去分析，很少去思考“從解析式的角度研究函數(shù)圖像的性質(zhì)”.而本課教學(xué)中，教師就解決了這個問題的根本原因——決定x、y的符號的是k，比如k＞0時，若x取正數(shù)，則y也一定是正數(shù)，故圖像在第一象限；若x=0，則y=0，故直線經(jīng)過原點；若x取負數(shù)，則y也一定是負數(shù)，故圖像在第三象限.這樣就不難說明“為什么k＞0時，圖像經(jīng)過一、三象限，而k＜0時，圖像卻經(jīng)過二、四象限”的真正原因了.這種對函數(shù)圖像的研究，既從數(shù)到形，又從形到數(shù)，從兩方面進行研究，有利于全面認識正比例函數(shù)的本質(zhì).

3.一般函數(shù)圖像與正比例函數(shù)圖像之間遷移關(guān)系的思考

從19.1節(jié)中畫一般函數(shù)圖像的途徑，到畫正比例函數(shù)的圖像是正遷移，這種遷移能讓學(xué)生理解描點法是畫一般函數(shù)圖像的一般方法，進而理解用兩點法畫正比例函數(shù)的圖像，再通過解析式和圖像理解正比例函數(shù)的性質(zhì)，這對后面即將研究一次函數(shù)都有很大的幫助.但是涉及19.1節(jié)中一般函數(shù)的圖像是用平滑的曲線把一些特殊點連接起來的，這樣造成了畫圖的負遷移.造成負遷移并不一定是壞事，只要教師及時加以引導(dǎo)，找到產(chǎn)生錯誤的原因，反而可加深對知識的理解和認識，這就是作者花了大量時間講清為什么正比例函數(shù)的圖像是直線的原因，相信會給學(xué)生留下深刻的印象，這又將對一次函數(shù)的學(xué)習(xí)產(chǎn)生正遷移.

總之，正比例函數(shù)的圖像是學(xué)生第一次真正意義上接觸直線形式的函數(shù)圖像，學(xué)生對它的學(xué)習(xí)會產(chǎn)生很多的疑問，如果能在這些疑問處下足功夫，對學(xué)生今后學(xué)習(xí)其他函數(shù)問題是非常重要的.

1.林群.義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)（八年級下冊）［M］.北京：人民教育出版社，2013.

2.張曉斌，王偉.人教版正比例函數(shù)概念的教學(xué)設(shè)計與點評［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2014（5）.