在活動中讓學生體驗數學學習的本質
——以“余角和補角”的教學設計為例

☉浙江省寧波市寧波東海實驗學校 陳明儒 汪旭英

在活動中讓學生體驗數學學習的本質
——以“余角和補角”的教學設計為例

☉浙江省寧波市寧波東海實驗學校 陳明儒 汪旭英

一、背景

《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出：“數學是研究數量關系和空間形式的科學.整個數學始終是圍繞著‘數’與‘形’這兩個基本概念的抽象、提煉發展而成.”這兩句話明確闡述數學的本質及數學是研究什么的一門學科.同時又指出：“學生的數學學習應當是一個生動活潑的、主動的和富有個性的過程，積極思考、動手實踐、自主探索、合作交流等都是學習數學的重要方式，讓學生應當有足夠的實踐時間和空間經歷觀察、實驗、猜想、計算、推理、驗證等活動過程.”這又是對良好的數學學習本質的要求.“余角和補角”這個課例，雖然屬于“圖形與幾何”的初始階段的學習內容，實際的教學過程中大多數教師側重于兩者之間的數量關系，忽視數與形的溝通與轉化；側重于性質應用過程中的演繹，輕視性質歸納過程中的合情推理；側重教師的預設，漠視教學過程中自然生成的資源.針對這種狀況，筆者通過活動體驗，采用探究式學習方式，對“余角和補角”嘗試一種新的教學設計.

二、教學分析

1.內容和內容解析

本節課是浙教版（2012年版）數學七上第六章“圖形的初步知識”第6.8節的內容.它是學生學習了角的相關內容，尤其是學習了直角、平角及兩個角的和與差之后，進一步學習兩個角之間的特殊關系.從知識順序來看，定義兩個角的和為一個直角或為一個平角是沒有任何知識障礙；從邏輯順序來看，有了任意兩個角的和差學習，再切換到兩個角的和為一個直角或為一個平角，是從一般到特殊的學習過程，學生也不難理解與掌握.在這個知識鏈上，直角無疑扮演著非常重要的角色，后續內容的展開與深入，都與它關聯.“余角和補角”是“圖形和幾何”中第一次研究兩個角之間的關系，互余和互補的性質又是“圖形和幾何”的第一條性質，它將為后續知識的學習，如對頂角、垂線、相交線、平行線、直角三角形、平行四邊形等性質和證明提供依據和方法.

2.目標和目標解析

（1）知識與技能目標：了解余角和補角的概念，通過觀察、歸納、說理得出余角、補角的性質，并能運用它們解決一些簡單實際問題.

（2）過程與方法目標：經歷觀察、操作、探究等過程，初步培養學生的空間觀念，接觸歸納推理、類比推理及初步的演繹推理等套路；同時體驗數形結合、方程思想解決簡單的幾何計算題.

（3）情感與態度目標：培養學生的探究意識，初步積累數學活動的經驗，體驗“做中學”的數學學習方法.

（4）目標解析：以一副三角板為背景，通過兩種不同位置放置，創設互余、互補概念產生的背景；通過抽離三角板，抽象出互余、互補的概念，凸顯數學概念的抽象過程；經歷求一個已知角的余角及補角的過程，并反思互余、互補是指兩個角之間的關系，總結出一個銳角的補角比這個角的余角大90°這一重要結論；再經歷畫一個角的余角過程，得出余角和補角的性質；讓學生經歷觀察、操作、歸納、探究等活動過程，體會類比、數形結合及特殊到一般的數學思想，從數和形的角度理解概念和性質的本質，體驗學習數學知識的基本策略：“歸納—演繹—類比”模式.

3.教學診斷分析

本節課最困難的應該是余角和補角的性質導出及應用過程中的說理.教材中只有這樣的背景材料：“填空：（1）∠α的余角=90°-_______.（2）∠β的余角=90°-_______.當∠α=∠β時，就有∠α的余角與∠β的余角相等.也就是說：同角或等角的余角相等.同樣可以得到：同角或等角的補角相等.”顯然教材的處理簡潔明了，但對剛學幾何的七年級學生來說，太抽象、太籠統，且沒有“同角的余角相等”性質的歸納和說理的過程，這給教師個性化地處理教材提供了空間.基于這樣的事實，筆者設計三個活動，分步探究的教學設計（具體見“教學過程設計”），這樣層層遞進、逐步理解的設計，既符合學生的認知規律，也能培養學生的思維能力，又讓學生初步積累一定的數學活動經驗，體驗數學學習的基本策略：“歸納—演繹—類比”模式.

三、教學過程設計

1.合作學習，在操作和交流中引入新知

活動1：將一副三角板按如圖1所示擺放，觀察并思考.

問題1：∠1和∠2、∠3和∠4分別有怎樣的數量關系？

圖2

問題2：隱去三角板，將其中兩個角經過一定位置移動后，如圖2，∠1和∠2、∠3和∠4又有怎樣的數量關系？你是怎樣判斷的？

活動預設：根據學生認知水平和以往教學實踐，學生可能會提出，用量角器量出這四個角，然后計算∠1+∠2、∠3+∠4，從“數”的角度來描述互余、互補的概念；學生也有可能會提到，可以把角轉一轉、拼一拼看是否能得到直角或平角，從“形”的角度來解釋互余或互補的數量關系.教師及時點評，并板書互余、互補的概念，并將圖形語言和文字語言轉化為符號語言，將數量關系進行板書.

若∠1+∠2=90°，則∠1與∠2互余；反之，若∠1與∠2互余，則∠1+∠2=90°.

若∠3+∠4=180°，則∠3與∠4互補；反之，若∠3與∠4互補，則∠3+∠4=180°.

設計思考：概念的引入，借用學生最熟悉的學習工具三角板，低起點，可以激發學生的參與熱情，為精彩課堂熱身.通過觀察、實驗、歸納等數學活動，讓學生經歷余角、補角概念的發生、形成過程.余角、補角的數量關系采用正反兩反面來敘述，滲透幾何定義，既可以作為性質又可以作為判定的基本說理方式.讓學生初步體驗數形結合思想，感受數學來源于生活的道理.

2.及時反饋，在練習和反思中加深理解

活動2：（1）填一填.

活動預設：填表時可能出現75°的余角為25°，137°的補角為33°的情形，提醒學生從概念出發，強調互余兩角和為90°，互補兩角和為180°，通過求直角或鈍角的余角，讓學生體會只有銳角才有余角.

（2）議一議.

問題1：90°的角叫余角，180°的角叫補角？

問題2：如果∠1+∠2+∠3=180°，那么∠1、∠2與∠3互補？

問題3：同一個銳角的余角和補角有什么關系？

活動預設：學生回答問題1和2可能會出錯，該兩問讓學生模糊，使錯誤的想法暴露出來，師生共同探討，共同理清概念中“互為”的本質.最后從特殊角到一般角的計算，引導學生歸納一個銳角的補角等于這個角的余角加90°.

（3）算一算.

問題1：已知一個角是這個角的余角的2倍，則這個角的度數為___________.

問題2：已知一個角的補角是這個角的余角的4倍，求這個角的度數.

問題3：已知一個角的補角加上20°后是這個角的余角的3倍，求這個角的度數.

活動預設：表格的設計讓數據變得更為直觀，便于觀察比較，因此，前兩個問題都可以從表格中找答案，也可以用算術方法解答，但第三個問題學生用算術方法遇到困難，此時引導學生用方程解題.具體解答過程中，可以直接設這個角為x°，列出方程求解；也可以利用上一題歸納的結論，設這個角的余角為x°，則這個角的補角是（90+x）°，列出方程求解.

設計思考：新概念的學習需要及時鞏固，適當的練習有助于概念的內化.通過填一填、議一議、算一算三個環節，強化學生對互余、互補概念的理解.通過填表的形式，可以使問題更簡明，求解更方便，驗證更直觀.從特殊角度的計算，再到一般余角、補角的計算，不斷將學生的思維引向深刻，可謂一表三用.“算一算”中第二小題是書本例2的原題，本題可用方程，也可用算術方法進行求解，也可以用表中的角嘗試檢驗.因此，筆者增設第三小題，在解法開放的情景中，讓學生體驗方程的思想.

3.開放探究，在探索和思辨中構建新知

探究1：畫一畫，已知∠1（如圖3），請畫出它的余角.

活動預設：每位同學都有一張圖3操作紙，學生可能會畫出圖4~圖7這四種情形.教師將學生的作品一一展示在黑板上，如果畫不全，教師補充.

圖3

圖4

圖5

圖6

圖7

探究2：比一比.

問題1：將你畫出的角和你的同桌比較一下，所畫∠1的余角大小又有什么關系呢？以圖4為例，你們發現了什么？

問題2：如圖8，已知∠1與∠2互余，∠3與∠4互余，如果∠1=∠3，問：∠2與∠4相等嗎？你們又有什么新的發現嗎？

圖8

活動預設：問題1引導學生發現：同角的余角相等，因為∠1+∠2=90°，∠1+∠3=90°，所以，∠2=∠3.問題2引導學生發現：等角的余角相等，因為∠1+∠2=90°，∠3+∠4=90°，又因為∠1=∠3，所以∠2=∠4.

探究3：小組合作，歸納交流.

如果把剛才性質中的“余角”改為“補角”，你又能提出什么問題？請結合圖形，說說你的理由.

活動預設：學生可以根據探究1畫圖得出同角的補角相等，類比探究2得出等角的補角相等，即同角或等角的補角相等，并將該性質的說理過程寫在黑板上.

設計思考：數學家斯托利亞爾說過：“數學教學與其說是數學結果的教學，不如說是數學活動過程的教學.”因此，通過活動3的預設，讓學生不但獲取余角、補角的性質，而且讓學生體會性質的產生、形成過程，體驗數形結合、類比思想，積累一定的數學活動經驗.開放探究環節的設計體現“做中學”的理念，探究過程始終圍繞“形”和“數”兩方面展開，讓學生通過畫一畫、算一算，經歷觀察、猜想、計算、驗證的過程，再一次體驗數形結合思想，也體驗到“歸納—演繹—類比”模式是學習數學的重要方式.

4.運用提高，在實踐和創新中形成能力

例1如圖9，已知∠AOC=∠COD=90°，作∠2的余角∠3，問：圖中除了直角外，還有哪些角相等？并說明理由.

圖9

設計思考：課堂的有效性首先是雙基的落實.本題是書本例1的一種延伸，借用黑板上的圖7，由易到難逐步突破難點，此題的價值是鞏固性質，學習說理，強化基本圖形.

例2如圖10，射線OA表示北偏西30°（一般不說成“西偏北60°”）方向，你能用類似的方法畫圖表示下列各方向嗎？

圖10

（1）北偏東40°.

（2）南偏西50°（一般不說成“西偏南40°”）.

（3）東南方向（即南偏東45°）.

在圖中畫出上述方向后，請用數字標注圖中互余或互補的角，并把它們列舉出來（只需分別列舉出兩對）.

設計思考：本題原是書本中的探究活動，考慮到象限角是學生學習中的一個難點，作為課堂中備選的例題，看時間而定.由于象限角表示方位時，常會涉及角的互余和互補，所以給出書本中表示方位的探究活動，讓學生體會數學在實際生活中的應用，培養學生的數學應用意識和創新能力.

5.歸納小結，在回顧與反思中鞏固新知

填表：

設計思考：小結以表格的形式出現，由學生自主完成.目的是通過整理，幫助學生形成良好的認知結構.

四、設計反思

1.多重理解，凸顯本質

教學設計要對教學內容進行整體思考，站在知識系統的高度去理解.首先，在理解數學的基礎上進行教學設計.整節課的數學活動都是圍繞著“數”與“形”這兩個基本概念展開，讓學生體驗數學的本質.如“余角和補角”概念的形成，先出現通過一副三角板，構造出一對余角、一對補角，然后引導學生通過度量和疊合得出兩對角的度數和分別為90°和180°.其次，在理解教材的基礎上進行教學設計.原教材的知識結構是先學習概念，再學習性質，最后是應用.如果這樣去設計教學流程，發現教學展開不流暢、不自然，尤其是最后的應用，是為應用而應用，因此，才有以上的教學設計.最后，在理解數學教學的基礎上進行教學思考.有效的教學活動是學生學與教師教的和諧統一.這節課中，教師始終是組織者、引導者，學生在教師的活動安排下有序展開思考、探究等活動，經歷概念的發生、形成及應用，以及性質的歸納與應用的全過程.

2.突出活動，側重體驗

《義務教務數學課程標準（2011年版）》指出：“活動是體現過程的載體之一，活動的基本特征之一是‘動’，手動、體動、腦動；另一個是‘活’，多樣才能活，對比才能活.”本節課的教學設計有兩條主線，一明一暗.明線顯然是學生的“活動”，總體上設計了四個大的母活動，每個母活動根據學生的認知發展順序及數學知識的邏輯順序，又設計一些子活動.如“活動2”中的（1）填一填；（2）議一議；（3）算一算.通過這些活動，讓學生去經歷、體驗、猜想、驗證、討論、交流.數學的體驗不僅在小組合作、動手操作中，也蘊含在數學問題的分析、思考解決的過程中.如：“同一個銳角的余角和補角有什么關系？”“已知∠1與∠2互余，∠3與∠4互余，如果∠1=∠3，問：∠2與∠4相等嗎？”通過這些問題，引發學生的思考，通過思考，感悟數學的本質和價值，培育學生的理性精神和創新意識.暗線就是整節課的數學活動都是圍繞著“數”與“形”這兩個基本概念展開.

3.靈動設計，注重細節

教學是技術，技術的關鍵詞是設計，因此，教師預設學生探究活動的路徑顯得尤為重要.如學習“余角和補角的性質”，實施一個活動，分三步探究的靈動設計.由此層層遞進、逐步理解，課堂的有效性得到了保障.在把握整體教學結構的情況下，筆者也對教學流程中的細節也給予足夠的關注.如求一個角的余角與補角，采用填表的形式，這樣能幫助學生更直觀地歸納出“一個銳角的補角比這個角的余角大90°”，體現圖表有助于數學理解的功效；表中設計中，角度的設置了75°和137°兩個非特殊角，因為這樣的角的余角和補角是學生最容易求錯的.還有將原來在性質后的學習例2調整到“活動2”中的“算一算”，這種細微的調整.使教學流程更自然連貫，并且在它前面加一個相對容易的問題（即搭一個腳手架），在后面再追加一個數量關系更復雜的問題，目的是體現方程思想的重要性.這樣的細節處理，是為整體服務，為有效課堂服務.

1.中華人民共和國教育部制定.義務教育數學課程標準（2011年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2012.

2.范良火.義務教育教科書·數學（七年級上冊）［M］.杭州：浙江教育出版社，2012.

3.王芝平.“變化率與導數”教學設計［J］.數學通報，2013（7）.

4.祁斌.活化教材資源，演繹個性化課堂教學［J］.中國數學教育（初中版），2013（5）.

5.陳明儒.突出過程孕育借助推理催化［J］.中學數學（下），2013（7）.

6.陳明儒，潘小梅.知識與能力并重思想與經驗齊驅［J］.中學數學教學參考（中），2013（3）.